Demonstração envolvendo Série de Fourier

[Estudioso]

As expressões abaixo referem-se aos coeficientes de Fourier:

\(a_{0}=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\,dx\)

\(a_{n}=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\,cos\left ( \frac{n\pi}{L}\,x )\,dx\)

\(b_{n}=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\,sen\left ( \frac{n\pi}{L}\,x )\,dx\)

i) Demonstre que quando \(f(x)\) é par a série de Fourier é escrita por:

\(f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}\,cos\left ( \frac{n\pi}{L}x)\), sendo que:

\(a_{0}=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\,dx\)

\(a_{n}=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\,cos\left ( \frac{n\pi}{L}\,x )\,dx\)

ii) Demonstre também que se \(f(x)\) for ímpar a série de Fourier é escrita por:

\(f(x)=\sum_{n=1}^{\infty }b_{n}\,sen\left ( \frac{n\pi}{L}x)\), sendo que:

\(b_{n}=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\,sen\left ( \frac{n\pi}{L}x)\,dx\)

[pedrodaniel10]

1) Se f é par então: \(f(-x)=f(x)\)
\((1)\: \: \int_{-L}^{0}f(x)\cos\left (\frac{n\pi }{L}x \right )dx=\int_{0}^{L}f(-x)\cos\left (-\frac{n\pi }{L}x \right )dx=\int_{0}^{L}f(x)\cos\left (\frac{n\pi }{L}x \right )dx
a_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\cos\left (\frac{n\pi }{L}x \right )dx=\frac{1}{L}\int_{-L}^{0}f(x)\cos\left (\frac{n\pi }{L}x \right )dx+\frac{1}{L}\int_{0}^{L}f(x)\cos\left (\frac{n\pi }{L}x \right )dx=\frac{1}{L}\int_{0}^{L}f(x)\cos\left (\frac{n\pi }{L}x \right )dx+\frac{1}{L}\int_{0}^{L}f(x)\cos\left (\frac{n\pi }{L}x \right )dx=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\cos\left (\frac{n\pi }{L}x \right )dx
(2)\: \: \int_{-L}^{0}f(x)\sin\left (\frac{n\pi }{L}x \right )dx=\int_{0}^{L}f(-x)\sin\left (-\frac{n\pi }{L}x \right )dx=-\int_{0}^{L}f(x)\sin\left (\frac{n\pi }{L}x \right )dx
b_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\sin\left (\frac{n\pi }{L}x \right )dx=\frac{1}{L}\int_{-L}^{0}f(x)\sin\left (\frac{n\pi }{L}x \right )dx+\frac{1}{L}\int_{0}^{L}f(x)\sin\left (\frac{n\pi }{L}x \right )dx=-\frac{1}{L}\int_{0}^{L}f(x)\sin\left (\frac{n\pi }{L}x \right )dx+\frac{1}{L}\int_{0}^{L}f(x)\sin\left (\frac{n\pi }{L}x \right )dx=0\)

bn é 0 logo o termo do sin desaparece.

2) Se f é ímpar então: \(f(-x)=-f(x)\)
\((1)\: \: \int_{-L}^{0}f(x)\cos\left (\frac{n\pi }{L}x \right )dx=\int_{0}^{L}f(-x)\cos\left (-\frac{n\pi }{L}x \right )dx=-\int_{0}^{L}f(x)\cos\left (\frac{n\pi }{L}x \right )dx
a_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\cos\left (\frac{n\pi }{L}x \right )dx=\frac{1}{L}\int_{-L}^{0}f(x)\cos\left (\frac{n\pi }{L}x \right )dx+\frac{1}{L}\int_{0}^{L}f(x)\cos\left (\frac{n\pi }{L}x \right )dx=-\frac{1}{L}\int_{0}^{L}f(x)\cos\left (\frac{n\pi }{L}x \right )dx+\frac{1}{L}\int_{0}^{L}f(x)\cos\left (\frac{n\pi }{L}x \right )dx=0
(2)\: \: \int_{-L}^{0}f(x)\sin\left (\frac{n\pi }{L}x \right )dx=\int_{0}^{L}f(-x)\sin\left (-\frac{n\pi }{L}x \right )dx=\int_{0}^{L}f(x)\sin\left (\frac{n\pi }{L}x \right )dx
b_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\sin\left (\frac{n\pi }{L}x \right )dx=\frac{1}{L}\int_{-L}^{0}f(x)\sin\left (\frac{n\pi }{L}x \right )dx+\frac{1}{L}\int_{0}^{L}f(x)\sin\left (\frac{n\pi }{L}x \right )dx=\frac{1}{L}\int_{0}^{L}f(x)\sin\left (\frac{n\pi }{L}x \right )dx+\frac{1}{L}\int_{0}^{L}f(x)\sin\left (\frac{n\pi }{L}x \right )dx=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\sin\left (\frac{n\pi }{L}x \right )dx\)

O a0 similarmente se comprova que é 0.
an é 0 logo o termo do cos desaparece.