Para quais valores de x a série converge?

[Engenet]

Para quais valores de x a série converge?

\(\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n^2x^n}{2.4.6......(2n)}\)

[Sobolev]

\(R=\lim \frac{a_n}{a_{n+1}} = \lim \dfrac{\dfrac{n^2}{2\cdot 4 \cdots (2n)}}{\dfrac{(n+1)^2}{2\cdot 4 \cdots (2n)(2n+2)}} = \lim \dfrac{(2n+2) n^2}{(n+1)^2)}=+\infty\)

Assim, a série de potências referida é convergente em R.

[Engenet]

Foi utilizado o teste da razão? Nesse caso, não seria \(\lim_{n \to \infty }\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\)?

[Sobolev]

Quando aplica o teste da razão a séries de potências, resulta como coloquei no post anterior. O termo geral é da série \(\sum a_n x^n\) é, para cada x , dado por \(b_n = a_n x^n\). O teste da razão é pois aplicado a \(b_n\). Assim,
\(\lim \dfrac{|b_{n+1}|}{|b_n|} = \lim \dfrac{|a_{n+1} x^{n+1}|}{|a_n x^n|} = |x| \lim \dfrac{|a_{n+1}|}{|a_n|}\)

mas este limite será inferior a 1 se

\(|x| \lim \dfrac{|a_{n+1}|}{|a_n|} < 1 \Leftrightarrow |x| < \lim \frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}\)

[Engenet]

Existe uma fórmula, dica ou macete para se achar o termo geral dessas multiplicações no denominador? Já tenho um bom domínio dos testes de convergência, mas tenho dificuldade em achar alguns termos gerais.