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Série de Potências, Maclaurin, raio de convergência https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=11&t=12311 |
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Autor: | Engenet [ 06 fev 2017, 13:02 ] |
Título da Pergunta: | Série de Potências, Maclaurin, raio de convergência |
Encontre a série de Maclaurin de f(x) usando a definição de uma série de Maclaurin. Também encontre o raio de convergência. \(f(x)=(1-x)^{-2}\) Estou fazendo da seguinte maneira: \(f(0)=1, f'(0)=2, f''(0)=6, f'''(0)=24, f''''(0)=120, f'''''(0)=720\) \(= 1+\frac{2}{1!}+\frac{3}{2!}+\frac{24}{3!}+\frac{120}{4!}+ ...\) Não sei como prosseguir... Como encontro o termo geral dessa soma? |
Autor: | Sobolev [ 06 fev 2017, 19:50 ] |
Título da Pergunta: | Re: Série de Potências, Maclaurin, raio de convergência |
[corrigido abaixo ...] \({\color{red}f(0) = 1 f'(0) = -2 (1-0)^{-3} = -2 f''(0) = (-2)\times (-3) (1-x)^{-4}= (-1)^2 \times 2 \times 3 f'''(0) = (-2)\times(-3)\times(-4) (1-0)^{-5} = (-1)^3 2 \times 3 \times 4 \vdots f^{(n)}(0) = (-1)^{n} (n+1)!}\) \({\color{blue}f(0) = 1 f'(0) = -2 (-1)(1-0)^{-3} = 2 f''(0) = (-2)\times(-1)\times (-3) (1-x)^{-4}= 2 \times 3 f'''(0) = (-2)\times(-1)\times(-3)\times(-4) (1-0)^{-5} = 2 \times 3 \times 4 \vdots f^{(n)}(0) = (n+1)!}\) Agora, usando a série de McLaurin, \(f(x) = \sum_{n\ge 1} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n = \sum_{n\ge 0} (n+1) x^n\) |
Autor: | Engenet [ 07 fev 2017, 15:42 ] |
Título da Pergunta: | Re: Série de Potências, Maclaurin, raio de convergência |
Por que \(f'(0)=-2\) e não \(f'(0)=2?\) Fazendo a derivada da função, utilizamos a regra da cadeia, correto? Derivada de fora x derivada de dentro. Ou não? |
Autor: | Rui Carpentier [ 07 fev 2017, 17:12 ] |
Título da Pergunta: | Re: Série de Potências, Maclaurin, raio de convergência |
Para encontrar o desenvolvimento em série de Maclaurin de \((1-x)^{-2}\) a maneira mais fácil* é observando que \((1-x)^{-2}\) é derivada de \((1-x)^{-1}=\frac{1}{1-x}\). Ora \(\frac{1}{1-x}\) é, para |x|<1, a soma da série geométrica de razão x. Por outras palavras, \(\frac{1}{1-x}\) tem série de Maclaurin igual a \(\sum_{n=0}^\infty x^n\) com raio de convergência igual a um, logo \((1-x)^{-2}=\left(\sum_{n=0}^\infty x^n\right)'=\sum_{n=0}^\infty nx^{n-1}=\sum_{n=0}^\infty (n+1)x^n\) com raio de convergência um. Engenet Escreveu: Por que \(f'(0)=-2\) e não \(f'(0)=2?\) Fazendo a derivada da função, utilizamos a regra da cadeia, correto? Derivada de fora x derivada de dentro. Ou não? Sim, é quase certo que foi esquecimento da parte do Sobolev. Fora esse pequeno fator de sinal a resolução dele está certa: \(f^{(n)}(0)=(n+1)!\). * Vi que no enunciado diz resolver pela definição que não é o caso desta resolução. Use a resolução do Sobolev (corrigida) e a fórmula \(r=\lim\frac{a_n}{a_{n+1}}\) para calcular o raio de convergência. |
Autor: | Sobolev [ 08 fev 2017, 09:40 ] |
Título da Pergunta: | Re: Série de Potências, Maclaurin, raio de convergência |
Obrigado Rui, vou corrigir no meu post inicial para não induzir em erro quem leia o post sem seguir todas as participações. |
Autor: | Engenet [ 08 fev 2017, 13:29 ] |
Título da Pergunta: | Re: Série de Potências, Maclaurin, raio de convergência [resolvida] |
Obrigado a todos pela colaboração. |
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