Série de Potências, Maclaurin, raio de convergência

[Engenet]

Encontre a série de Maclaurin de f(x) usando a definição de uma série de Maclaurin. Também encontre o raio de convergência.

\(f(x)=(1-x)^{-2}\)

Estou fazendo da seguinte maneira:
\(f(0)=1, f'(0)=2, f''(0)=6, f'''(0)=24, f''''(0)=120, f'''''(0)=720\)
\(= 1+\frac{2}{1!}+\frac{3}{2!}+\frac{24}{3!}+\frac{120}{4!}+ ...\)

Não sei como prosseguir... Como encontro o termo geral dessa soma?

[Sobolev]

[corrigido abaixo ...]
\({\color{red}f(0) = 1
f'(0) = -2 (1-0)^{-3} = -2
f''(0) = (-2)\times (-3) (1-x)^{-4}= (-1)^2 \times 2 \times 3
f'''(0) = (-2)\times(-3)\times(-4) (1-0)^{-5} = (-1)^3 2 \times 3 \times 4
\vdots
f^{(n)}(0) = (-1)^{n} (n+1)!}\)
\({\color{blue}f(0) = 1
f'(0) = -2 (-1)(1-0)^{-3} = 2
f''(0) = (-2)\times(-1)\times (-3) (1-x)^{-4}= 2 \times 3
f'''(0) = (-2)\times(-1)\times(-3)\times(-4) (1-0)^{-5} = 2 \times 3 \times 4
\vdots
f^{(n)}(0) = (n+1)!}\)


Agora, usando a série de McLaurin,

\(f(x) = \sum_{n\ge 1} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n = \sum_{n\ge 0} (n+1) x^n\)

[Engenet]

Por que \(f'(0)=-2\) e não \(f'(0)=2?\) Fazendo a derivada da função, utilizamos a regra da cadeia, correto? Derivada de fora x derivada de dentro. Ou não?

[Rui Carpentier]

Para encontrar o desenvolvimento em série de Maclaurin de \((1-x)^{-2}\) a maneira mais fácil* é observando que \((1-x)^{-2}\) é derivada de \((1-x)^{-1}=\frac{1}{1-x}\). Ora \(\frac{1}{1-x}\) é, para |x|<1, a soma da série geométrica de razão x. Por outras palavras, \(\frac{1}{1-x}\) tem série de Maclaurin igual a \(\sum_{n=0}^\infty x^n\) com raio de convergência igual a um, logo \((1-x)^{-2}=\left(\sum_{n=0}^\infty x^n\right)'=\sum_{n=0}^\infty nx^{n-1}=\sum_{n=0}^\infty (n+1)x^n\) com raio de convergência um.

Por que \(f'(0)=-2\) e não \(f'(0)=2?\) Fazendo a derivada da função, utilizamos a regra da cadeia, correto? Derivada de fora x derivada de dentro. Ou não?

Sim, é quase certo que foi esquecimento da parte do Sobolev. Fora esse pequeno fator de sinal a resolução dele está certa: \(f^{(n)}(0)=(n+1)!\).

* Vi que no enunciado diz resolver pela definição que não é o caso desta resolução. Use a resolução do Sobolev (corrigida) e a fórmula \(r=\lim\frac{a_n}{a_{n+1}}\) para calcular o raio de convergência.

[Sobolev]

Obrigado Rui, vou corrigir no meu post inicial para não induzir em erro quem leia o post sem seguir todas as participações.

[Engenet]

Obrigado a todos pela colaboração.