Série de Potências, função de Bessel de ordem 0

[Engenet]

Mostre que \(J_{0}\) satisfaz a equação diferencial: \(x^2J''_{0}(x)+xJ'_{0}(x)+x^2J_{0}(x)=0\)

Calcule \(\int_{0}^{1}J_{0}(x)dx\) com precisão de três cadas decimais.

Minha maior dificuldade está na derivação da função de Bessel. Como ela é descrita como uma soma, ao derivar, é possível que o índice da soma mude de n=0 para n=1, e eu não sei quando exatamente fazer tal operação. Também tenho dificuldade na hora de somar as somas na equação diferencial.

[Sobolev]

Qual foi a definição que deu para a função de Bessel? É que normalmente a função de Bessel \(J_0(x)\) é definida justamente como sendo a solução dessa equação diferencial... Terá dado uma representação em série de potências?

[Engenet]

\(J_{0}(x)=\sum_{n=0}^{\infty } \frac{(-1)^{n}x^{2n}}{2^{2n}(n!)^{2}}\)

Apenas para não deixá-lo sem resposta.
Consegui resolver a questão. Obrigado.