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Preciso de ajuda para Encontrar a série de Taylor em torno de X = Xo da função F(x)=lnx; Xo=e


Desde já agradeço!

A série de taylor centrada em \(e\) escreve-se
\(f(x)=\sum_{n \ge 0} \frac{f^{(n)}(e)}{n!} (x-e)^n\)

Trata-se pois de determinar a experssão de \(f^{(n)}(e)\)

\(f'(x)= \frac 1x \Rightarrow f'(e)= \frac 1e
f''(e) = -\frac{1}{e^2}
f'''(e) = \frac{2}{e^3}
f^{(4)}(e) = -\frac{3 \times 2}{e^4}
f^{(5)}(e) = \frac{4 \times 3 \times 2}{e^5}
\vdots
f^{(n)}(e) = \frac{(-1)^{n+1} (n-1)!}{e^n}\)

Assim,

\(\ln(x) = \sum_{n \ge 0} \frac{(-1)^{n+1} (n-1)!}{e^n n!} (x-e)^n = \sum_{n \ge 0} \frac{(-1)^{n+1}}{e^n n} (x-e)^n\)