Série de taylor para aproximação

[FernandoMartins]

Seja f:IR -> IR uma função com derivadas de todas as ordens, tais que,

\(\left |f^{(n)}(x) \right |\leq 15, \forall x\in [1,2], \forall n\in\mathbb{N}\)

Usando esta estimativa e o resto de Lagrange em x0=1, determine o menor natural n para o qual pode garantir que o polinómio de Taylor de ordem n de f em x0=1 fornece um valor aproximado de f(1.01) com erro < 10^-9

[FernandoMartins]

\(|R_{n}(x)|=\left | f^{n+1}(a) \right |\frac{1}{(n+1)!}|x-1|^{n+1}, a\in [1,1.01]\)

\(|R_{n}(x)|\leq 15 \frac{1}{(n+1)!}|1.01-1|^{n+1}\leq10^{-9}\)

\(\frac{0.01^{n+1}}{n+1!}\leq \frac{1}{15*10^{9}}\)

falta apenas experimentar valor para n.