Série potências complexos -sin z^3 em torno de 2i

[apmg92]

Olá,

A dúvida é como obter a série de potências em torno de 2i de f= - sin z^3 , fazendo mudança de variável.
Obrigado

[Rui Carpentier]

Não sei se haverá outra maneira mais fácil de obter a série de potências de \(f(z)=-\sin(z^3)\) mas eu só vejo deste modo:
Faça \(t=z-2i \Leftrightarrow z=t+2i\), \(-\sin\left(z^3\right)=-\frac{e^{z^3i}-e^{-z^3i}}{2i}=-\frac{e^{t^3i-6t^2-12ti+8}-e^{-t^3i+6t^2+12ti-8}}{2i}=-\frac{e^{t^3i}e^{-6t^2}e^{-12ti}e^{8}-e^{-t^3i}e^{6t^2}e^{12ti}e^{-8}}{2i}=\)
\(=\sum_{n=0}^{\infty}\left(-\frac{e^8}{2i}\sum_{3k+2j+l=n}\left(\frac{i^k}{k!}+\frac{(-6)^j}{j!}+\frac{(-12i)^l}{l!}\right)+\frac{e^{-8}}{2i}\sum_{3k+2j+l=n}\left(\frac{-i^k}{k!}+\frac{6^j}{j!}+\frac{(12i)^l}{l!}\right)\right)(z-2i)^n\)