| Fórum de Matemática | DÚVIDAS? Nós respondemos! https://forumdematematica.org/ |
|
| Expressão para o teste da comparação numa série https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=11&t=1545 |
Página 1 de 1 |
| Autor: | tiago_antunes [ 11 jan 2013, 23:23 ] |
| Título da Pergunta: | Expressão para o teste da comparação numa série |
Oi estou a tentar achar esta série \(\sum_{n=1}^{\infty}\left[ e^{1/n}-e^{-1/n}\right]\) já que os testes da raiz e da razão são inconclusivos pois \(l=1\) tenho quase a certeza que é pelo teste da comparação, mas comparo com qual expressão? Obrigado galera |
|
| Autor: | Fraol [ 12 jan 2013, 00:55 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Expressão para o teste da comparação numa série |
Olá, boa noite, Lembre-se que se \(\lim_{n \to \infty} a_n \neq 0\) então \(\sum a_n\) diverge. Oops - desculpe, errei na conta. Volto daqui há pouco para digitar a solução correta. |
|
| Autor: | João P. Ferreira [ 12 jan 2013, 00:56 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Expressão para o teste da comparação numa série |
Pode comparar com \(\sum \frac{1}{n}\) depois basta verificar que \(\lim \frac{e^{1/n}-e^{-1/n}}{\frac{1}{n}}>1\) acho que é isto... |
|
| Autor: | João P. Ferreira [ 12 jan 2013, 00:58 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Expressão para o teste da comparação numa série |
fraol Escreveu: Olá, boa noite, Lembre-se que se \(\lim_{n \to \infty} a_n \neq 0\) então \(\sum a_n\) diverge. Não, o limite dá zero  \(\lim e^{1/n}-e^{-1/n}=\lim e^{1/\infty}-e^{-1/\infty}=e^0-e^0={1}-{1}={0}\) abraços |
|
| Autor: | Fraol [ 12 jan 2013, 01:16 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Expressão para o teste da comparação numa série |
Sim João, obrigado. Eu errei nas contas. Vi logo após enviar e editei indicando a falha. Estou a analisar a sua solução. Obrigado. |
|
| Autor: | João P. Ferreira [ 14 jan 2013, 16:44 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Expressão para o teste da comparação numa série |
Sem estresses Eu também me enganei, queria dizer 1/n Abraços |
|
| Autor: | Sobolev [ 18 jan 2013, 11:13 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Expressão para o teste da comparação numa série |
Aplicando o teorema de Lagrange à função exponencial no intervalo [-x,x], com x > 0, podemos mostrar que \(e^x-e^{-x} \ge 2 x e^{-x}, \quad x \ge 0\). Vemos então que \(e^{1/n}-e^{-1/n} \ge \frac{2}{n} e^{-1/n}\). Como podemos ver facilmente (por comparação com a série de termo geral 1/n ) que a série de termo geral \(\frac{2}{n} e^{-1/n}\) é divergente, o critério geral de comparação garante a divergência da série em análise. |
|
| Página 1 de 1 | Os Horários são TMG [ DST ] |
| Powered by phpBB® Forum Software © phpBB Group https://www.phpbb.com/ |
|