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| Autor: | marques_gc [ 14 fev 2012, 11:59 ] |
| Título da Pergunta: | sequência real |
Ola, De uma forma geral, não consigo arrancar na resolução do seguinte exercício: Seja \(U_{n}\) uma sequência real definida pelo \(U_{0}=0\) e pela relação recursiva \(U_{n+1}=\sqrt{U_{n}+12;}\) para todo n \(\epsilon\) IN: 1) Calcule \(U_{n}\) por \(1\leq n\leq 5\) (obter resultados a \(10^{-5}\) aproximadamente) 2) Demonstre que, por todo n \(\epsilon\) IN, obteremos \(U_{n}< 4\) 3) Demonstre que a sequência \(U_{n}\) é estritamente crescente. 4-a) Demonstre que obtemos : \(4-U_{n+1}< \frac{4-U_{n}}{4}\), por todo n \(\epsilon\) IN. 4-b) Demonstre que obtemos \(4-U_{n+1}< \frac{4-U_{n}}{4}\) Agradeço antecipadamente qualquer ajuda. |
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| Autor: | João P. Ferreira [ 14 fev 2012, 16:05 ] |
| Título da Pergunta: | Re: sequência real |
Boas Se \(u_{n+1}=\sqrt{u_{n}+12}\) e \(u_0=0\) basta ir fazendo as contas até chegar a \(u_5\) \(u_1=\sqrt{u_{0}+12}=\sqrt{0+12}=\sqrt{12}\) \(u_2=\sqrt{u_{1}+12}=\sqrt{\sqrt{12}+12}\) \(u_3=\sqrt{u_{2}+12}=\sqrt{\sqrt{\sqrt{12}+12}+12}\) \(u_4=\sqrt{u_{3}+12}=\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{12}+12}+12}+12}\) e finalmente \(u_5=\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{12}+12}+12}+12}+12}\) este é o valor exato, para chegar a uma aproximação, é só fazer as contas... ____ Para demonstrar que \(u_n < 4 \forall n \in \mathbb{N}\) podemos usar indução matemática: Base: é válido para \(n=0\) pois \(u_0=0 < 4\) Passo: Se é válido para \(n\) então também é válido para \(n+1\) ora se \(u_n<4\) então: \(u_n+12<16 \Leftrightarrow \sqrt{u_n+12}<\sqrt{16} \Leftrightarrow u_{n+1} < 4\) como queríamos demonstrar para demonstrar que \(u_n\) é estritamente crescente basta provar que \(u_{n+1}-u_{n}>0\) Cumprimentos |
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| Autor: | marques_gc [ 17 fev 2012, 01:53 ] |
| Título da Pergunta: | Re: sequência real |
Ola, mais uma vez muito obrigado pela ajuda. Consegui avançar no seguinte, ou seja uma parte foi na base dos conselho indicados na tua resposta: 1) Calculo de (Un) \(u_{0}=0\) \(u_{1}=3,46410\) \(u_{2}=3,93244\) \(u_{3}=3,99155\) \(u_{4}=3,99894\) \(u_{5}=3,99987\) Resultados a \(10^{-5}\) aproximadamente. \(u_{0}=0*10^{-5}=0\) \(u_{1}=346410*10^{-5}\) \(u_{2}=393244*10^{-5}\) \(u_{3}=399155*10^{-5}\) \(u_{4}=399894*10^{-5}\) \(u_{5}=399987*10^{-5}\) então \(1\leq n\leq 5\) tendo em conta resultados a \(10^{-5}\) aproximadamente. \(u_{1}=346410*10^{-5}\) e \(u_{5}=399987*10^{-5}\) o que significa que \(346410*10^{-5}\) \(\leq n\leq\) \(399987*10^{-5}\) Gostava de contar com o teu conselho em relação aos passos dado ate aqui. |
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| Autor: | João P. Ferreira [ 17 fev 2012, 14:42 ] |
| Título da Pergunta: | Re: sequência real |
Os resultados numéricos aparentam estar corretos, mas fazes alguma confusão nos conceitos matemáticos Isto está incorreto: \(346410*10^{-5}\leq n\leq 399987*10^{-5}\) O terno \(n\) pertence aos naturais e é tão-somente 1,2,3,4,5,6,7..., assim não é verdade que por exemplo para n=7 \(346410*10^{-5}\leq 7 \leq 399987*10^{-5}\) O que podes claramente reparar é que: \(u_{1}<4\) \(u_{2}<4\) \(u_{5}<4\) e como já foi demonstrado \(u_{n}<4, \forall n\) Não confundas o \(n\) (índice da série que é não mais que números naturais 1,2,3,4....) com o \(u_{n}\) que é o valor da sucessão para aquele valor específico de \(n\) É como numa função, não confundir o \(x\) com o \(f(x)\) |
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| Autor: | marques_gc [ 21 fev 2012, 22:15 ] |
| Título da Pergunta: | Re: sequência real |
Ola, De uma forma geral, não consigo arrancar na resolução do seguinte exercício: Seja \(U_{n}\) uma sequência real definida pelo \(U_{0}=0\) e pela relação recursiva \(U_{n+1}=\sqrt{U_{n}+12;}\) para todo n \(\epsilon\) IN: 1) Calcule \(U_{n}\) por \(1\leq n\leq 5\) (obter resultados a \(10^{-5}\) aproximadamente) 2) Demonstre que, por todo n \(\epsilon\) IN, obteremos \(U_{n}< 4\) 3) Demonstre que a sequência \(U_{n}\) é estritamente crescente. 4-a) Demonstre que obtemos : \(4-U_{n+1}< \frac{4-U_{n}}{4}\), por todo n \(\epsilon\) IN. Boa noite, Tenho avançar de uma forma geral na resolução destes exercícios mas no entanto estou com dificuldades no exercício 4-a). Pelo que agradeço um ajudinha no que me poderia desbloquear... Sei que já demonstramos que \(u_{n}< 4\) e tambem \(u_{n+1}> u_{n}\) Mas não consigo encaixar as coisas ... |
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| Autor: | João P. Ferreira [ 22 fev 2012, 15:19 ] |
| Título da Pergunta: | Re: sequência real |
\(4-u_{n+1}<\frac{4-u_n}{4}\) Multiplicando tudo por \({4}\) e sabendo que \(u_{n+1}=\sqrt{u_n+12}\) \(16 - 4 \sqrt{u_n+12} < 4 -u_n\) \(12 - 4 \sqrt{u_n+12} < -u_n\) \(4 \sqrt{u_n+12} > u_n +12\) Como ambas as parcelas são maior que zero, podemos fazer o quadrado dos dois lados \((4 \sqrt{u_n+12})^2 > (u_n +12)^2\) \(16 (u_n+12) > (u_n +12)^2\) \(16 > u_n +12\) \(u_n < 4\) como já havíamos demonstrado Cumprimentos |
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