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| Sem utilizar o método de indução matemática https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=11&t=2262 |
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| Autor: | Prevaricador [ 14 abr 2013, 22:38 ] |
| Título da Pergunta: | Sem utilizar o método de indução matemática |
Este exercício nem sei por onde começar... Sem utilizar o método de indução matemática, mostre que: \(\sum_{{i}={0}}^{n}i(_{i}^{n}\textrm{})^2=n(_{n}^{2n-1}\textrm{})\) , n ≥ 1 Podem dar-me um empurrãozinho? P.S. - Penso que seja suposto usar as igualdade binomiais mas não estou a ver como... 
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| Autor: | Prevaricador [ 14 abr 2013, 23:53 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Sem utilizar o método de indução matemática |
Após uma leitura mais aprofundada sobre esta matéria estou a pensar usar a Lei da Simetria e a Convolução de Vandermonde... \(\sum_{{i}={0}}^{n}i(_{i}^{n}\textrm{})^2=\sum_{{i}={0}}^{n}i(_{i}^{n}\textrm{})(_{i}^{n}\textrm{})\) Aplicando a lei da simetria: \((_{k}^{n}\textrm{})=(_{n-k}^{n}\textrm{})\) Nota:(tenho dúvidas se se pode aplicar por causa do "i" que ficou de fora...) \(\sum_{{i}={0}}^{n}i(_{i}^{n}\textrm{})(_{n-i}^{n}\textrm{})\) Aplicando a Convolução de Vandermonde \(\sum_{{k}={0}}^{n}(_{k}^{r}\textrm{})(_{n-k}^{s}\textrm{})=(_{n}^{r+s}\textrm{})\) Ficando com \(i(_{n}^{2n}\textrm{})\) Ou seja, a demonstração dá-me errado!! Não consigo perceber porquê... Alguém me pode ajudar a concluir este exercício? Cumprimentos |
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| Autor: | Prevaricador [ 15 abr 2013, 16:53 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Sem utilizar o método de indução matemática |
Não consegui resolver este exercíco com a Convolução de Vandermonde e acho que nem sequer se pode aplicar neste caso... Mas continuo sem perceber como concluir este exercício...
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| Autor: | Rui Carpentier [ 15 abr 2013, 18:20 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Sem utilizar o método de indução matemática |
Pode e deve aplicar a identidade de Vandermonde. Mas primeiro, use a seguinte identidade: \(i{n\choose i}=\frac{i\cdot n!}{i!\cdot (n-i)!}=\frac{n\cdot (n-1)!}{(i-1)!\cdot (n-i)!}=n{n-1 \choose i-1}\) Assim sendo, \(\sum_{i=0}^{n}i{n\choose i}^2=\sum_{i=0}^{n}n{n-1 \choose i-1}{n\choose i}=n\sum_{i=0}^{n}{n-1 \choose n-i}{n\choose i}=n{2n-1\choose n}\) |
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| Autor: | Prevaricador [ 15 abr 2013, 21:33 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Sem utilizar o método de indução matemática [resolvida] |
Rui Carpentier: Muito obrigado pelo esclarecimento! Já estou a começar a perceber como resolver este tipo de exercícios! Cumprimentos |
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