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| conjunto dos valores de aderência de x(n) https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=11&t=2293 |
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| Autor: | Walter R [ 17 abr 2013, 13:21 ] |
| Título da Pergunta: | conjunto dos valores de aderência de x(n) [resolvida] |
Estou às voltas com um problema, e gostaria de alguma orientação. O enunciado é o seguinte: "Dadas as seguintes afirmações: i) seja G um subconjunto denso em \(\mathbb{R}\). Para todo \(x\in \mathbb{R}\), existe uma subsequência \((g_{n})\) de elementos de G tal que \(g_{n}\rightarrow x\). ii) Se \((g_{n})\) é uma sequência e \(g_{n}\rightarrow a\), então \(cos(g_{n})\rightarrow cos(a)\) (isto vale para qualquer função contínua). iii) \(G=({n+m\alpha /n,m\in \mathbb{Z})\), com \(\alpha\) irracional é um grupo aditivo denso. Supondo já provado que \(\pi\) é irracional, demonstre que o conjunto dos valores de aderência da sequencia \(x_{n}= cos(n)\) é todo o intervalo \([-1,1]\)." Penso que devo assumir \(G=(n+m\pi /m,n\in \mathbb{Z})\) e provar que existem subsequências \(x(n_{k})\) tais que \(x(n_{k})\rightarrow a\), \(a \in [-1,1]\). Pela afirmação (i), existem subseqências de G tais que \((g_{n_{k}})\rightarrow x\). Mas os elementos de G são da forma \((n+m\pi )\), ou seja contêm duas variáveis, n e m. Então aí já vejo um problema. Que relação de ordem ordem assumir em relação a estas duas variáveis? |
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| Autor: | Rui Carpentier [ 20 abr 2013, 22:17 ] |
| Título da Pergunta: | Re: conjunto dos valores de aderência de x(n) |
Um pormenor a ter atenção é a periodicidade do coseno (\(\cos(x+2n\pi)=\cos x\)). Por iii existe, para cada \(a\in [-1,1]\), uma sucessão de pares de naturais \((n_k,m_k)\in\mathbb{N}^2\) tais que a sucessão \(g_k=n_k+2m_k\pi\) converge para \(b=\arccos (a)\). Logo, \(\cos(n_k) =\cos(n_k+2m_k\pi)=\cos(g_k)\) converge para \(\cos(b)=a\) por ii. PS- Note que, sendo \(\pi\) irracional, \(2\pi\) também é irracional. |
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| Autor: | Walter R [ 22 abr 2013, 19:06 ] |
| Título da Pergunta: | Re: conjunto dos valores de aderência de x(n) |
Obrigado! |
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