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Estou às voltas com um problema, e gostaria de alguma orientação. O enunciado é o seguinte:

"Dadas as seguintes afirmações:
i) seja G um subconjunto denso em \(\mathbb{R}\). Para todo \(x\in \mathbb{R}\), existe uma subsequência \((g_{n})\) de elementos de G tal que \(g_{n}\rightarrow x\).
ii) Se \((g_{n})\) é uma sequência e \(g_{n}\rightarrow a\), então \(cos(g_{n})\rightarrow cos(a)\) (isto vale para qualquer função contínua).
iii) \(G=({n+m\alpha /n,m\in \mathbb{Z})\), com \(\alpha\) irracional é um grupo aditivo denso.

Supondo já provado que \(\pi\) é irracional, demonstre que o conjunto dos valores de aderência da sequencia \(x_{n}= cos(n)\) é todo o intervalo \([-1,1]\)."


Penso que devo assumir \(G=(n+m\pi /m,n\in \mathbb{Z})\) e provar que existem subsequências \(x(n_{k})\) tais que \(x(n_{k})\rightarrow a\), \(a \in [-1,1]\).
Pela afirmação (i), existem subseqências de G tais que \((g_{n_{k}})\rightarrow x\). Mas os elementos de G são da forma \((n+m\pi )\), ou seja contêm duas variáveis, n e m. Então aí já vejo um problema. Que relação de ordem ordem assumir em relação a estas duas variáveis?

Um pormenor a ter atenção é a periodicidade do coseno (\(\cos(x+2n\pi)=\cos x\)).

Por iii existe, para cada \(a\in [-1,1]\), uma sucessão de pares de naturais \((n_k,m_k)\in\mathbb{N}^2\) tais que a sucessão \(g_k=n_k+2m_k\pi\) converge para \(b=\arccos (a)\). Logo, \(\cos(n_k) =\cos(n_k+2m_k\pi)=\cos(g_k)\) converge para \(\cos(b)=a\) por ii.

PS- Note que, sendo \(\pi\) irracional, \(2\pi\) também é irracional.

Obrigado!