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| comprovar que x é inteiro https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=11&t=2363 |
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| Autor: | Walter R [ 26 abr 2013, 13:07 ] |
| Título da Pergunta: | comprovar que x é inteiro |
Por favor, ajudem-me a provar que se \(x=b!\left ( \frac{a}{b} - \sum_{n=0}^{b}\frac{1}{n!}\right )\), então \(x\) é inteiro positivo. |
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| Autor: | Fraol [ 26 abr 2013, 15:10 ] |
| Título da Pergunta: | Re: comprovar que x é inteiro |
Bom dia, Supondo \(a\) e \(b\) sejam inteiros, então se você distribuir o \(b!\) para dentro dos parêntesis você terá um conjunto de parcelas com essa cara: \(x = \frac{ab!}{b} - \frac{b!}{0!} - \frac{b!}{1!} - \frac{b!}{2!} - \frac{b!}{3!} - ... - \frac{b!}{b!}\) = \(x = a \cdot (b-1)! - b! - b! - \frac{b!}{2!} - \frac{b!}{3!} - ... - 1\) Observe que tanto a primeira como as demais parcelas resumem-se ao produto de números inteiros então a diferença desses produtos também é inteiro. |
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| Autor: | Walter R [ 26 abr 2013, 18:31 ] |
| Título da Pergunta: | Re: comprovar que x é inteiro |
Boa tarde. De acordo, mas ainda assim não é evidente que x seja maior do que zero. |
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| Autor: | Fraol [ 26 abr 2013, 18:59 ] |
| Título da Pergunta: | Re: comprovar que x é inteiro |
Tem razão! e não haveria nenhuma outra hipótese para nos ajudar? |
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| Autor: | Walter R [ 26 abr 2013, 19:38 ] |
| Título da Pergunta: | Re: comprovar que x é inteiro |
O que eu quero é provar que o número \(e\) é irracional. Suponho, por absurdo, que \(e = \frac{a}{b}\) é racional, com \(a, b \in \mathbb N\). Seja \(x=b!\left ( e - \sum_{n=0}^{b}\frac{1}{n!} \right )\). Em tese, desta equação resulta que x é um inteiro positivo ( esta é minha dificuldade, no momento). Por outro lado, usando que \(e - \sum_{n=0}^{b}\frac{1}{n!}=\sum_{n=b+1}^{\infty}\frac{1}{n!}\), concluo que 0<x<1, contradizendo a hipótese de que \(e\) é racional. |
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| Autor: | santhiago [ 26 abr 2013, 20:03 ] |
| Título da Pergunta: | Re: comprovar que x é inteiro |
Não sei se vai ajudar . Como em cada parcela \(n \leq b\) ,concluímos que existe algum natural \(k\) tal que \(n +k = b\) para cada \(n\in\{0,1 ,...,b\}\). Daí , \(\frac{b!}{n!} = \frac{(n+k)!}{n!} = \frac{1 \cdot 2 \cdots n!}{n!} = (k-1)\cdot (k-2) \cdots 1 = ((b-n-1)\cdot ((b-n-2)\cdots 1\) . |
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| Autor: | santhiago [ 26 abr 2013, 20:19 ] |
| Título da Pergunta: | Re: comprovar que x é inteiro |
Pensei de outra forma tmabém : Como estamos supondo que existem \(a,b\) naturais tais que \(e = a/b\) . Então \(\frac{a}{b} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}\) . Reescrevendo \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}\) como \(\sum_{n=0}^{b} \frac{1}{n!} + \sum_{n=b+1}^{\infty} \frac{1}{n!}\) e multiplicando ambos membros por \(b!\) ,segue \((b-1)!a = \sum_{n=0}^{b} \frac{b!}{n!} + \sum_{n=b+1}^{\infty} \frac{b!}{n!}\) . O número \((b-1)!a -\sum_{n=0}^{b} \frac{b!}{n!}\) é inteiro positivo ,por outro lado , \(\sum_{n=b+1}^{\infty} \frac{b!}{n!} = b!\left( \frac{1}{(b+1)!} + \frac{1}{(b+2)!} + \dots\right)\) . Simplifique o fatorial e compare com uma PG de razão 1/2 p/ concluir . |
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| Autor: | Walter R [ 28 abr 2013, 21:20 ] |
| Título da Pergunta: | Re: comprovar que x é inteiro |
boa tarde. como você chegou à conclusão de que o número \((b-1)!a-\sum_{n=0}^{b}\frac{b!}{n!}\) é inteiro positivo? |
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| Autor: | santhiago [ 29 abr 2013, 00:57 ] |
| Título da Pergunta: | Re: comprovar que x é inteiro |
O número \(\sum_{k=0}^{b} \frac{b!}{n!} = b! + b! + \frac{b!}{2!} + \dots + 1\) de fato é inteiro positivo ,observando-se as parcelas em que \(b > n\) ,temos : \(b! = \prod_{k=1}^b k = \prod_{k=1}^n k \cdot \prod_{k=n+1}^b k = n! \prod_{k=n+1}^b k =\) . Assim , \(b!/k!\) é inteiro para cada \(k\in\{0, \dots , b\}\) ,logo concluímos que a diferença \((b-1)!a - \sum_{k=0}^{b} \frac{b!}{n!}\) é um número inteiro positivo ,isto porque \(\sum_{k=b+1}^{\infty} \frac{b!}{n!} > 0\) . Argumento que utilizei foi este ,vamos ver que os demais membros do fórum acham . |
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| Autor: | Sobolev [ 02 mai 2013, 18:20 ] |
| Título da Pergunta: | Re: comprovar que x é inteiro [resolvida] |
Aceitando que \(e = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n!}\) e tratando-se de uma série de termos positivos, tem -se necessariamente \(\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n!} > \sum_{n=0}^{p} \frac{1}{n!}, \quad \forall p \ge 0\) Deste modo \(e - \sum_{n=0}^{p} \frac{1}{n!} > 0\) para qualquer inteiro p, pelo que também no caso especifico p = b. |
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