Soma com combinatória [Resolvida]

[Prevaricador]

Caros amigos, estou com dificuldade em resolver um exercício, será que me podiam dar uma ajuda?

A soma \($$ \sum_{{i}={0}}^{n}\binom{n+i}{i}$$\)

é igual a:

a) \($$ \sum_{{i}={0}}^{n}\binom{n+i}{n-i}$$\)

b) \($$ \sum_{{i}={0}}^{n}\frac{1}{\binom{i}{n+i}}$$\)

c) \($$ \sum_{{i}={0}}^{n}2^{n+i}$$\)

d) \($$ \sum_{{i}={n}}^{2n}\binom{i}{n}$$\)

Editado pela última vez por Prevaricador em 23 mai 2013, 17:09, num total de 1 vez.

[Prevaricador]

Comecei por fazer a mudança da variável

\($$ \sum_{{i}={0}}^{n}\binom{n+i}{i}$$\)

\($$= \sum_{{i}={0}}^{n}\binom{n+n-i}{n-i}$$\)

apliquei em seguida a lei da Simetria

\($$= \sum_{{i}={0}}^{n}\binom{2n-i}{n-i}$$\)

\($$= \sum_{{i}={0}}^{n}\binom{2n-i}{n}$$\)

e acabei por empancar neste ponto....

Não sei se estou a ir pelo caminho certo ou se existe alguma lei que permita chegar a uma das opções do exercício.

[João P. Ferreira]

Já experimentou considerar as diversas fórmulas para as combinatórias???

http://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_coefficient

[Rui Carpentier]

Não acho que seja a melhor mudança de variável a realizar.

O melhor é usar 1º a lei da simetria:

\(\sum_{i=0}^{n}{n+i \choose i}=\sum_{i=0}^{n}{n+i \choose n+i-i}=\sum_{i=0}^{n}{n+i \choose n}\)

e depois sim, usar a mudança de variável \(j=n+i\):

\(\sum_{i=0}^{n}{n+i \choose n}=\sum_{j=n}^{2n}{j \choose n}\)

[Prevaricador]

Rui, obrigado pelo esclarecimento!
Tenho andado às voltas com esse exercício e não havia maneira de bater certo...
Realmente estava a usar a abordagem errada!

[Prevaricador]

João, obrigado pelo "empurrão" mas continuava a não conseguir resolver o exercício...
Eu estava a ir pelo caminho errado!

Cumps

Já experimentou considerar as diversas fórmulas para as combinatórias???

http://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_coefficient