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| Soma com combinatória [Resolvida] https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=11&t=2530 |
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| Autor: | Prevaricador [ 19 mai 2013, 15:58 ] |
| Título da Pergunta: | Soma com combinatória [Resolvida] |
Caros amigos, estou com dificuldade em resolver um exercício, será que me podiam dar uma ajuda? A soma \($$ \sum_{{i}={0}}^{n}\binom{n+i}{i}$$\) é igual a: a) \($$ \sum_{{i}={0}}^{n}\binom{n+i}{n-i}$$\) b) \($$ \sum_{{i}={0}}^{n}\frac{1}{\binom{i}{n+i}}$$\) c) \($$ \sum_{{i}={0}}^{n}2^{n+i}$$\) d) \($$ \sum_{{i}={n}}^{2n}\binom{i}{n}$$\) |
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| Autor: | Prevaricador [ 19 mai 2013, 16:37 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Soma |
Comecei por fazer a mudança da variável \($$ \sum_{{i}={0}}^{n}\binom{n+i}{i}$$\) \($$= \sum_{{i}={0}}^{n}\binom{n+n-i}{n-i}$$\) apliquei em seguida a lei da Simetria \($$= \sum_{{i}={0}}^{n}\binom{2n-i}{n-i}$$\) \($$= \sum_{{i}={0}}^{n}\binom{2n-i}{n}$$\) e acabei por empancar neste ponto.... Não sei se estou a ir pelo caminho certo ou se existe alguma lei que permita chegar a uma das opções do exercício. |
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| Autor: | João P. Ferreira [ 20 mai 2013, 14:40 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Soma |
Já experimentou considerar as diversas fórmulas para as combinatórias??? http://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_coefficient |
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| Autor: | Rui Carpentier [ 20 mai 2013, 17:29 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Soma com combinatória |
Não acho que seja a melhor mudança de variável a realizar. O melhor é usar 1º a lei da simetria: \(\sum_{i=0}^{n}{n+i \choose i}=\sum_{i=0}^{n}{n+i \choose n+i-i}=\sum_{i=0}^{n}{n+i \choose n}\) e depois sim, usar a mudança de variável \(j=n+i\): \(\sum_{i=0}^{n}{n+i \choose n}=\sum_{j=n}^{2n}{j \choose n}\) |
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| Autor: | Prevaricador [ 23 mai 2013, 16:04 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Soma com combinatória |
Rui, obrigado pelo esclarecimento! Tenho andado às voltas com esse exercício e não havia maneira de bater certo... Realmente estava a usar a abordagem errada! |
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| Autor: | Prevaricador [ 23 mai 2013, 16:07 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Soma |
João, obrigado pelo "empurrão" mas continuava a não conseguir resolver o exercício... Eu estava a ir pelo caminho errado! Cumps João P. Ferreira Escreveu: Já experimentou considerar as diversas fórmulas para as combinatórias???
http://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_coefficient |
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