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| Sucessões crescentes e crescentes no sentido lato https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=11&t=3052 |
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| Autor: | simp72 [ 05 jul 2013, 20:36 ] |
| Título da Pergunta: | Sucessões crescentes e crescentes no sentido lato |
Preciso de ajuada para resolver esta questão: Considere as sucessões de termos gerais: \(c_n=\frac{2n}{n+1}\) \(d_n=4n+(-1)^n.2\) Indique qual é crescente e qual é crescente apenas em sentido lato. Desde já obrigado. |
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| Autor: | Fraol [ 08 jul 2013, 21:44 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Sucessões crescentes e crescentes no sentido lato |
Boa tarde, simp72 Escreveu: Preciso de ajuada para resolver esta questão: Considere as sucessões de termos gerais: \(c_n=\frac{2n}{n+1}\) \(d_n=4n+(-1)^n.2\) Indique qual é crescente e qual é crescente apenas em sentido lato. Desde já obrigado. Se a sua definição for igual à que me recordo, então: \(c_n\) é crescente para \(c_{n+1} - c_n > 0\) e crescente lato para \(c_{n+1} - c_n \geq 0\), para \(\forall n \in N\). Então basta fazer a conta \(c_{n+1} - c_n\) para verificar que \(c_n\) é crescente. E \(d_n\) é crescente para \(d_{n+1} - d_n > 0\) e crescente lato para \(d_{n+1} - d_n \geq 0\), para \(\forall n \in N\). Nesse caso, vamos fazer a conta que o resultado é interessante: \(d_{n+1} - d_n = 4(n+1)+(-1)^{n+1}.2 - (4n+(-1)^n.2) = 4 - 4(-1)^n\). Observando a última expressão notamos que quando \(n\) é ímpar seu resultado é \(8\) e quando \(n\) é par seu resultado é \(0\). Ou seja a diferença entre os termos sucessivos fica sempre 0 ou 8, então \(d_n\) é crescente lato. É isso. |
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| Autor: | simp72 [ 09 jul 2013, 06:55 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Sucessões crescentes e crescentes no sentido lato |
Desde já muito obrigado pela resposta, mas a minha dificuldade está no cálculo. A sucessão \(c_n\) penso que consegui resolver, mas a \(d_n\), estou com uma certa dificuldade. \(c_{n+1}-c_n> 0\) \(\frac{2(n+1)}{n+1+1}-\frac{2n}{n+1}=\frac{2n+2}{n+2}-\frac{2n}{n+1}\) \(=\frac{2n^2+4n+2-2n^2-4n}{(n+2)(n+1)}=\frac{2}{n^2+3n+2}\) Como \(n^2+3n+2\) é sempre positivo, a sucessão é sempre maior que zero sendo crescente. \(d_{n+1}-d_n \geqslant 0\) nesta não percebi como se chegou a \(4-4(-1)^n\). Quado chego à expressão \(4+(-1)^{n+1}.2-[(-1)^n.2]\) já não consigo sair daqui. |
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| Autor: | Sobolev [ 09 jul 2013, 11:23 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Sucessões crescentes e crescentes no sentido lato |
Como \((-1)^{n+1} = - (-1)^n\) Então \(4 + (-1)^{n+1}\cdot 2 - (-1)^n\cdot 2 = 4 - 2(-1)^n - 2(-1)^n = 4 - 4 (-1)^n\) |
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| Autor: | simp72 [ 09 jul 2013, 15:03 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Sucessões crescentes e crescentes no sentido lato [resolvida] |
Muito obrigado. Tudo percebido. |
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