Fórum de Matemática
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Como consigo calcular a convergência da série.

\(\sum_{n=0}^{\infty}\left (\frac{x}{x+1} \right )^{n}\)

Sei que \(\left |\frac{x}{x+1}\right |<1\) mas não consigo obter o resultado \(x\in ]-\frac{1}{2},+\infty[\)

Se vires bem, nem sempre

\(|\frac{x}{x+1}| \leq 1\)

Aliás, quando x= -1/2, é exactamente 1 o módulo e para valores de x inferiores, \(1 \leq|\frac{x}{x+1}|\)

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José Sousa
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O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo.
O que há é pouca gente para dar por isso.

óóóó---óóóóóó óóó---óóóóóóó óóóóóóóó
(O vento lá fora.)

Álvaro de Campos, 15-1-1928

Meu caro

É uma série de potência

\(\sum_{i=0}^{\infty}x^i=\frac{1}{1-x} \, \ |x|<1\)

Assim, a série que refere dá:

\(\frac{1}{1-\frac{x}{x+1}}=\frac{1}{\frac{1}{x+1}}=x+1\)

Então como bem refere:

\(\left|\frac{x}{x+1}\right|<1 \Leftrightarrow \\\\ \Leftrightarrow \frac{|x|}{|x+1|}<1 \Leftrightarrow \\\\ \Leftrightarrow |x|<|x+1| \Leftrightarrow \\\\ \Leftrightarrow x>-|x+1| \wedge x<|x+1| \Leftrightarrow \\\\ \Leftrightarrow |x+1|>-x \wedge |x+1|>x \Leftrightarrow \\\\ \Leftrightarrow (x+1<x \vee x+1>-x) \wedge (x+1<-x \vee x+1>x) \Leftrightarrow \\\\ \Leftrightarrow (1<0 \vee x>-1/2) \wedge (x<-1/2 \vee 1>0) \Leftrightarrow \\\\ ( \phi \vee x>-1/2) \wedge (x<-1/2 \vee \Re) \Leftrightarrow \\\\ \Leftrightarrow x>-1/2 \wedge \Re \Leftrightarrow \\\\ \Leftrightarrow x>-1/2\)

Assim o conjunto é

\(x \in ]-1/2,+\infty[\)

Saudações

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João Pimentel Ferreira
 
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Não lhe dês o peixe, ensina-o a pescar (provérbio chinês)
Fortalecemos a quem ajudamos pouco, mas prejudicamos se ajudarmos muito (pensamento budista)}

Eu fiz assim



Porque é que na simplificação do módulo os sinais \(< \geq\) não podem ser \(\leq >\)? (trocar o sinal igual)

Está a referir-se a que passo específico?

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João Pimentel Ferreira
 
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Boas,

Se se está a referir à minha solução, de facto existe um erro inicial aquando a formatação da expressão, em que comecei com menor ou igual em vez de menor. Caso contrário não sei a que se refere.

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José Sousa
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Álvaro de Campos, 15-1-1928