Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Qual o Raio de Convergência de
\(\sum_{n=1}^{\infty }n!n^{-n}x^{n}\)

Temos então

\(\sum_{n=0}^{\infty}n!n^{-n}x^n=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)

O raio de convergência é dado por, existindo o limite,

\(R = lim_{n \to \infty} |\frac{a_n}{a_{n+1}}|\)
\(= lim_{n \to \infty} |\frac{n!n^{-n}}{(n+1)!(n+1)^{-(n+1)}}|\)
\(= lim_{n \to \infty} |\frac{n!n^{-n}}{(n+1)n!(n+1)^{-n}(n+1)^{-1}}|\)
\(= lim_{n \to \infty} |\frac{n^{-n}}{(n+1)^{-n}}|\)
\(= lim_{n \to \infty} |\frac{(n+1)^n}{n^{n}}|\)
\(= lim_{n \to \infty} |(1+\frac{1}{n})^n|= e\)

Então o raio de convergência é igual a \(e\)

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José Sousa
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O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo.
O que há é pouca gente para dar por isso.

óóóó---óóóóóó óóó---óóóóóóó óóóóóóóó
(O vento lá fora.)

Álvaro de Campos, 15-1-1928