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| Raio de Convergência de sum n! n^-n. x^n https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=11&t=422 |
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| Autor: | jrodrigues [ 31 mai 2012, 14:43 ] |
| Título da Pergunta: | Raio de Convergência de sum n! n^-n. x^n |
Qual o Raio de Convergência de \(\sum_{n=1}^{\infty }n!n^{-n}x^{n}\) |
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| Autor: | josesousa [ 31 mai 2012, 15:05 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Raio de Convergência de sum n! n^-n. x^n |
Temos então \(\sum_{n=0}^{\infty}n!n^{-n}x^n=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\) O raio de convergência é dado por, existindo o limite, \(R = lim_{n \to \infty} |\frac{a_n}{a_{n+1}}|\) \(= lim_{n \to \infty} |\frac{n!n^{-n}}{(n+1)!(n+1)^{-(n+1)}}|\) \(= lim_{n \to \infty} |\frac{n!n^{-n}}{(n+1)n!(n+1)^{-n}(n+1)^{-1}}|\) \(= lim_{n \to \infty} |\frac{n^{-n}}{(n+1)^{-n}}|\) \(= lim_{n \to \infty} |\frac{(n+1)^n}{n^{n}}|\) \(= lim_{n \to \infty} |(1+\frac{1}{n})^n|= e\) Então o raio de convergência é igual a \(e\) |
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