Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Qual é o raio de convergência da seguinte série?

\(\sum_{n=1}^{\infty }\frac{x^{n}}{n2^{n}}\)

Solução: R=2

A resposta é parecida à da última pergunta que colocou. ver o limite da razão que lhe disse e vê-se facilmente que é 2. Acho que não vale a pena escrever tudo passo a passo outra vez, ok?

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José Sousa
_{se gostou da resposta, divulgue o fórumdematemática.org}

O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo.
O que há é pouca gente para dar por isso.

óóóó---óóóóóó óóó---óóóóóóó óóóóóóóó
(O vento lá fora.)

Álvaro de Campos, 15-1-1928

Pois não. Já consegui resolver.

Obrigado pelas dicas e velocidade na resposta.

É sempre benvindo! Estamos aqui apra ajudar!

Saudações Pitagóricas

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José Sousa
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O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo.
O que há é pouca gente para dar por isso.

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(O vento lá fora.)

Álvaro de Campos, 15-1-1928

Se já conseguiu resolver partilhe resultados com os restantes, o fórum agradece...

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João Pimentel Ferreira
 
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Não lhe dês o peixe, ensina-o a pescar (provérbio chinês)
Fortalecemos a quem ajudamos pouco, mas prejudicamos se ajudarmos muito (pensamento budista)}

\(\sum_{n=1}^{\infty } \frac{x^{n}}{n.2^{n}}\)


Série do tipo \(\sum_{n=1}^{\infty } a_{n}x^{n}\)

\(a_{n}= \frac{1}{n2^{n}}\)

\(\lim_{n \to \infty } \left |\frac{a_{n}}{a_{n+1}} \right |\)

\(\lim_{n \to \infty } \left |\frac{\frac{1}{n2^{n}}}{\frac{1}{(n+1)2^{n+1}}} \right |\) = \(\lim_{n \to \infty } \left |\frac{(n+1)2^{n+1}}{n2^{n}} \right |\) = \(\lim_{n \to \infty } \left |\frac{(n+1)2^{n}.2^{1}}{n2^{n}} \right |\) = \(\lim_{n \to \infty } \left |\frac{(n+1).2}{n} \right |\) = \(\lim_{n \to \infty } \left |\frac{2n+2}{n} \right |\) = \(\lim_{n \to \infty } \left |2+ \frac{2}{n} \right |\) = \(2\)

Para que valores esta série é simplesmente convergente e absolutamente convergente?

A série não é do tipo \(\sum(-1)^n a_n\)

logo a série em apreço é absolutamente convergente no intervalo \(]-2,2[\) e divergente nos outros casos

Cumprimentos e obrigado pela contribuição

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João Pimentel Ferreira
 
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Mas nas soluções deste exercício diz que é absolutamente convergente para os valor x=\(]-2,2[\) e simplesmente convergente em x=\(\left \{ -2 \right \}\)

se \(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n} = \sum_{n=1}^{\infty}\left |a_{n} \right |\) poderá a série ser simplesmente convergente?

Tem razão meu caro

Não tinha reparado nesse pequeno detalhe, mea culpa

\(\sum_{n=1}^{\infty }\frac{x^{n}}{n2^{n}}\)

Repare que quando \(x=-2\) ficamos com \(\sum_{n=1}^{\infty }\frac{(-2)^{n}}{n2^{n}}=\sum_{n=1}^{\infty }(-1)^n\frac{1}{n}\)

Pelo critério de Leibniz como \(\lim\frac{1}{n}=0\) a série é simplesmente convergente para \(x=-2\)

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João Pimentel Ferreira
 
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