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| Raio de Convergencia de sum n.(3x-2)^n-1 https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=11&t=424 |
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| Autor: | jrodrigues [ 31 mai 2012, 19:09 ] |
| Título da Pergunta: | Raio de Convergencia de sum n.(3x-2)^n-1 |
Calcular o Raio de Convergência da seguinte série. \(\sum_{n=1}^{\infty} n(3x-2)^{n-1}\) Solução R=1, Absolutamente convergente em ] 1/3 , 1 [ A grande dificuldade está em descobrir o termo geral. |
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| Autor: | jrodrigues [ 31 mai 2012, 19:11 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Raio de Convergencia de sum n.(3x-2)^n-1 |
\(\sum_{n=1}^{\infty} n(3x-2)^{n-1}\) = Mudança de variavel \(n-1=k\) \(\sum_{k=0}^{\infty} (k+1)(3x-2)^{k}\) \(a_{n}=k+1\) \(R= \lim_{n \to \infty }\left | \frac{a_{n}}{a_{n+1}} \right |\) = \(\lim_{n \to \infty } \left |\frac{k+1}{k+2} \right |\) = \(\lim_{n \to \infty } \left |\frac{(n-1)+1}{(n-1)+2} \right |\) = \(\lim_{n \to \infty } \left |\frac{n}{n+1} \right |\) = \(1\) Será este o raciocínio? O Raio de Convergência será em torno de ??? |
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| Autor: | josesousa [ 31 mai 2012, 20:49 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Raio de Convergencia de sum n.(3x-2)^n-1 |
Tal como está não é série de potências como a definimos. Queremos termos do estilo \(\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-a)^n\) Neste caso \((n+1)(3x-2)^n=(n+1).3^n(x-\frac{2}{3})^n\) assim \(a_n = (n+1).3^n\) e \(lim_{n \to \infty}a_n/a_{n+1} = lim_{n \to \infty}(n+1).3^n/((n+2)3^{n+1}) =\) \(lim_{n \to \infty}\frac{n+1}{n+2}.\frac{1}{3} = 1/3\) Logo o raio de convergência é de 1/3. Mas em torno de que ponto? Como a série de potências é da forma (x-a)^n, ou seja, formada em torno do ponto a (neste caso 2/3), a região de convergência será: \(\] a-R, a+R \[ = \] 1/3, 1 \[\) Resumindo, primeiro pôr a série na forma clássica de série de potências, escrevendo-o termo geral na forma \(a_n(x-a)^n\) Depois usar o limite atrás descrito para calcular o raio de convergência. A região de convergência é dada por \(\] a-R, a+R \[\) |
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| Autor: | jrodrigues [ 31 mai 2012, 21:33 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Raio de Convergencia de sum n.(3x-2)^n-1 |
josesousa Escreveu: Tal como está não é série de potências como a definimos. Queremos termos do estilo \(\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-a)^n\) Neste caso \((n+1)(3x-2)^n=(n+1).3^n(x-\frac{2}{3})^n\) Houve uma mudança de variável para chegar a \((n+1)(3x-2)^n\) certo? |
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| Autor: | josesousa [ 31 mai 2012, 23:52 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Raio de Convergencia de sum n.(3x-2)^n-1 |
Sim, usei o passo que tinhas feito antes. Saudações pitagóricas!:) |
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