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Estude quanto à convergência simples e absoluta a série \(\sum_{n=1}^{\infty } (-1)^{n} \frac{1}{ln(n+1)}\)

Olá

Para sabermos se é convergente, como é uma série alternada, precisamos de calcular o seguinte limite

\(\lim \frac{1}{ln(n+1)}=\frac{1}{\infty}=0\)

Então a série é convergente

Para sabermos se é absolutamente ou simplesmente convergente, precisamos de saber se a série

\(\sum_{n=1}^{\infty }\left| (-1)^{n} \frac{1}{ln(n+1)}\right|=\sum_{n=1}^{\infty } \frac{1}{ln(n+1)}\)

é convergente ou não

Podemos usar então o 2º critério da comparação para tentar calcular a natureza da série

Assim comparemos com a série \(\sum\frac{1}{n}\) que sabemos que é divergente

Calculemos então o limite

\(\lim\frac{\frac{1}{ln(n+1)}}{\frac{1}{n}}=\lim\frac{n}{ln(n+1)}=+\infty\)

Então a série \(\sum_{n=1}^{\infty } \frac{1}{ln(n+1)}\) é divergente o que significa que a série do enunciado é apenas simplesmente convergente

Cumprimentos

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João Pimentel Ferreira
 
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