sum(n+1)^(-1/2)-(n-1)^(-1/2)

[jrodrigues]

Qual a natureza da série e se possível calcular a sua soma:

\(\sum_{n=2}^{\infty }\frac{1}{\sqrt{n+1}}- \frac{1}{\sqrt{n-1}}\)

Solução: Convergente

Soma =\(1-\frac{1}{\sqrt{2}}\)

Editado pela última vez por jrodrigues em 03 jun 2012, 03:40, num total de 1 vez.

[jrodrigues]

Condição necessária de convergência

\(\lim_{n \to \infty }\frac{1}{\sqrt{n+1}}- \frac{1}{\sqrt{n-1}}\)

\(=\lim_{n \to \infty }\frac{1}{\sqrt{n+1}} - \lim_{n \to \infty }\frac{1}{\sqrt{n-1}}\)

\(=\frac{1}{\lim_{n \to \infty }\sqrt{n+1}} - \frac{1}{\lim_{n \to \infty }\sqrt{n-1}}\)

\(=\frac{1}{\sqrt{\lim_{n \to \infty }(n+1)}} - \frac{1}{\sqrt{\lim_{n \to \infty }(n-1)}}\) \(=\frac{1}{+\infty}-\frac{1}{+\infty}\) = \(0\)

A série \(\sum_{n=2}^{\infty }\frac{1}{\sqrt{n+1}}- \frac{1}{\sqrt{n-1}}\) é Convergente

E a sua soma?

[josesousa]

Isto é uma sério de Mengoli, em que o termo geral é do tipo

\(a_n - a_{n+l}\)

Fazendo a mudança de variável na série k=n-1

fica com termo geral

\(a_k - a_{k+2}\)

e a soma são, neste caso, os dois primeiros termos da série.