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| sum(n+1)^(-1/2)-(n-1)^(-1/2) https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=11&t=436 |
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| Autor: | jrodrigues [ 03 jun 2012, 03:15 ] |
| Título da Pergunta: | sum(n+1)^(-1/2)-(n-1)^(-1/2) |
Qual a natureza da série e se possível calcular a sua soma: \(\sum_{n=2}^{\infty }\frac{1}{\sqrt{n+1}}- \frac{1}{\sqrt{n-1}}\) Solução: Convergente Soma =\(1-\frac{1}{\sqrt{2}}\) |
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| Autor: | jrodrigues [ 03 jun 2012, 03:50 ] |
| Título da Pergunta: | Re: sum(n+1)^(-1/2)-(n-1)^(-1/2) |
Condição necessária de convergência \(\lim_{n \to \infty }\frac{1}{\sqrt{n+1}}- \frac{1}{\sqrt{n-1}}\) \(=\lim_{n \to \infty }\frac{1}{\sqrt{n+1}} - \lim_{n \to \infty }\frac{1}{\sqrt{n-1}}\) \(=\frac{1}{\lim_{n \to \infty }\sqrt{n+1}} - \frac{1}{\lim_{n \to \infty }\sqrt{n-1}}\) \(=\frac{1}{\sqrt{\lim_{n \to \infty }(n+1)}} - \frac{1}{\sqrt{\lim_{n \to \infty }(n-1)}}\) \(=\frac{1}{+\infty}-\frac{1}{+\infty}\) = \(0\) A série \(\sum_{n=2}^{\infty }\frac{1}{\sqrt{n+1}}- \frac{1}{\sqrt{n-1}}\) é Convergente E a sua soma? |
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| Autor: | josesousa [ 03 jun 2012, 15:07 ] |
| Título da Pergunta: | Re: sum(n+1)^(-1/2)-(n-1)^(-1/2) |
Isto é uma sério de Mengoli, em que o termo geral é do tipo \(a_n - a_{n+l}\) Fazendo a mudança de variável na série k=n-1 fica com termo geral \(a_k - a_{k+2}\) e a soma são, neste caso, os dois primeiros termos da série. |
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