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Favor verificar se minha resposta ao problema abaixo está correta:

Problema:
a) Dada uma sequência de funções \(f_n:X\rightarrow \mathbb R\), suponha que exista \(c \in \mathbb R\) tal que \(\sqrt[n]{|f_n(x)|}\le c < 1\), para todo \(x \in X\) e todo \(n \in \mathbb{N}\) suficientemente grande. Prove que \(\sum|f_n(x)|\)
e \(\sum f_n(x)\) convergem uniformemente em \(X\).

b) Se em vez de \(\sqrt[n]{|f_n(x)|}\le c < 1\) tivermos \(\left|\frac{f_{n+1}(x)}{f_n(x)}\right|\le c<1\) para todo \(x \in X\) e todo \(n\) suficientemente grande, com \(f_n(x)\neq 0\) para todo \(x \in X\) e todo \(n \in \mathbb N\) , prove que se chega à mesma conclusão.

Solução:

a)\(\sqrt[n]{|f_n(x)|}\le c < 1\) \(\Rightarrow |f_n(x)|\le c^n<1\). Como \(\sum c^n\) é convergente, então, pelo Teste de Weirstrass, tanto \(\sum|f_n|\) como \(\sum f_n\) convergem uniformemente em \(X\).

b)\(\left|\frac{f_{n+1}}{f_n}\right|<1\) implica que \(\sum f_n\) é absolutamente convergente. Mas então \(\sum |f_n|c\) também converge, pois \(\sum |f_n|c<\sum|f_n|\).
Temos então:
\(\left|\frac{f_{n+1}(x)}{f_n(x)}\right|\le c<1\)\(\Rightarrow\) \(\frac{|f_{n+1}|}{|f_n|}\le c\Rightarrow |f_{n+1}|\le |f_n|c\), com \(\sum|f_n|c\)
convergente. De novo, pelo Teste de Weirstrass, tanto \(\sum|f_n|\) como \(\sum f_n\) convergem uniformemente em \(X\).

Oi, Martins!
Minha dúvida é principalmente no item "b". O teste de Weirstrass exige que exista uma sequência de constantes \(a_n \ge 0\) tal que \(\sum a_n\) convirja e \(|f_n(x)| \le a_n\) para todo \(n \in \mathbb N\) e todo \(x \in X\). O que eu obtive é que \(|f_{n+1}| \le |f_n|c\), onde \(|f_n|\) não é uma constante, se bem que convirja para um numero real.

Olá Walter,

Não é verdade que pense por exemplo em \(f_n=\frac{1}{n}\). No entanto, se \(\left|\frac{f_{n+1}(x)}{f_n(x)}\right|\leq c<1\) para todo o \(x\) e para todo o \(n\) a partir de certa ordem \(n_0\) (admitindo que essa ordem não depende de \(x\)), temos que \(|f_{n}(x)|\leq c^{n-n_0}|f_{n_0}(x)|\leq c^{n-n_0}||f_{n_0}||_\infty\) e a série \(\sum_{n>n_0}c^{n-n_0}||f_{n_0}||_\infty\) é absolutamente convergente.

Oi Walter

Não pensei nisso pela verificação de Weirstrass. Apenas me passou a ideia errada que fn : | fn+1 / fn | < 1 seria uma sucessão de funções limitadas e portanto uniformemente convergente.
Mas então como se demonstra que fn naquelas condições é de facto uma sucessão de funções limitadas? Já o fizeste?

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F. Martins

Martins, o Rui resolveu a charada. Temos que \(|f_{n_0+1}|<c|f_{n_0}|\), \(|f_{n_0+2}|<c|f_{n_0+1}|\Rightarrow |f_{n_0+2}|<c^2|f_{n_0}|\), e assim sucessivamente. Por indução, chegamos que \(|f_n(x)|<c^{n-n_0}|f_{n_0}(x)|\)\(\le c^{n-n_0}||f_{n_0}||_{\infty}\), onde \(||f_{n_0}||_{\infty}=\sup_x |f_{n_0}(x)|\), que é um número real. Assim, a dificuldade que eu apontei foi superada.

Observação

Pelo Teste da Razão, se existe uma constante \(c\) tal que \(0<c<1\) e \(\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}\le c\) para todo \(n>n_0\), então a série \(\sum a_n\) converge absolutamente. Então \(\lim \frac{|f_{n+1}|}{|f_n|}< 1\Rightarrow\) \(\sum f_n\) absolutamente convergente. No caso \(f_n=\frac{1}{n}\), \(\lim \frac{\frac{1}{n+1}}{\frac{1}{n}}=1\). Então acho que não é um contra-exemplo.

O que estava escrito era que \(\frac{|f_{n+1}|}{|f_n|}<1\) implicava que \(\sum f_n\) seria absolutamente convergente. E isso é falso como mostra o contra-exemplo \(f_n=\frac{1}{n}\) (note que \(\frac{\frac{1}{n+1}}{\frac{1}{n}}=\frac{n}{n+1}<1\)). Este contra-exemplo também mostra que \(\frac{|f_{n+1}|}{|f_n|}<1\) não implica que \(\lim\frac{|f_{n+1}|}{|f_n|}<1\). No entanto é um facto que \(\lim\frac{|f_{n+1}|}{|f_n|}<1\) implica a convergência absoluta de \(\sum f_n\).

Obrigado, Rui. Eu formalizei mal, mas era isto que eu tinha em mente. De qualquer forma, cairia na mesma dificuldade. Mas a maneira como você resolveu ficou muito clara. Abraço!