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Séries Infinitas [Critério de Dirichlet] https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=11&t=6051 |
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Autor: | Man Utd [ 17 mai 2014, 19:09 ] |
Título da Pergunta: | Séries Infinitas [Critério de Dirichlet] |
Prove que a série \(\sum_{k=1}^{+\infty} \; \frac{senk}{k}\) é convergente. O objetivo é usar o Critério de Dirichlet.Tenho uma resolução do Livro Guidorizzi-Um curso de cálculo volume 4 página 93 . Citar: Solução : \(\left| sena+sen2a+ \cdots + sen(na) \right|=\left| \frac{\cos \left(\frac{a}{2} \right)- \cos\left( na+\frac{a}{2} \right)}{2sen\left( \frac{a}{2} \right)} \right|\) Em particular : \(\left|sen 1+sen 2+ \cdots + sen(k) \right|\leq \frac{1}{sen\left( \frac{1}{2} \right)}\)--------Só não entendi esta parte, mas especificamente não entendi como ele majorou a soma parcial. As sequências \(a_{k}=\frac{1}{k}\) e \(b_{k}=senk\) satisfazem, então , as condições do critério de Dirichlet.Logo, a série \(\sum_{k=1}^{+\infty} \; \frac{senk}{k}\) é convergente. Grato a quem puder ajudar. grande abraço. ![]() ![]() |
Autor: | Fraol [ 17 mai 2014, 20:02 ] |
Título da Pergunta: | Re: Séries Infinitas [Critério de Dirichlet] |
Boa tarde Man Utd, Olhando o numerador da expressão solução, vejo que seu maior valor é 2, daí segue a majoração, concorda? |
Autor: | Man Utd [ 18 mai 2014, 01:11 ] |
Título da Pergunta: | Re: Séries Infinitas [Critério de Dirichlet] |
fraol Escreveu: Boa tarde Man Utd, Olhando o numerador da expressão solução, vejo que seu maior valor é 2, daí segue a majoração, concorda? Olá :D obrigado por responder,acho que o numerador \(\left| cos( \frac{a}{2})-cos( na+\frac{a}{2}) \right|\) não chega a atingir o valor 2, já que a=1. cumprimentos ![]() |
Autor: | Fraol [ 18 mai 2014, 01:52 ] |
Título da Pergunta: | Re: Séries Infinitas [Critério de Dirichlet] |
Sim, nesse caso particular algo em torno de 1,95. Assim, como \(\frac{1}{sen(1/2)} > 2\) continua valendo a majoração que, não tenho esse livro, deve servir a algum propósito na sequência da prova. Se encontrar outra argumentação manda pra cá! Abç. |
Autor: | Man Utd [ 18 mai 2014, 14:54 ] |
Título da Pergunta: | Re: Séries Infinitas [Critério de Dirichlet] |
Aqui tem esse livro para baixar , se te interessar. fraol Escreveu: Sim, nesse caso particular algo em torno de 1,95. Assim, como \(\frac{1}{sen(1/2)} > 2\) continua valendo a majoração que, não tenho esse livro, deve servir a algum propósito na sequência da prova. Se encontrar outra argumentação manda pra cá! Abç. Caro fraol , msm assim o exerício deve fazer alguma outra manipulação pois o sinal é igual ou maior, quer dizer que pode assumir o valor 2, mas o numerador daquela expressão nunca chegará a isso. Cumprimentos e abraços :D :D :D |
Autor: | Man Utd [ 02 jun 2014, 18:11 ] |
Título da Pergunta: | Re: Séries Infinitas [Critério de Dirichlet] |
Olá :D Acho que seria assim: \(\left| sena+sen2a+ \cdots + sen(na) \right|=\left| \frac{\cos \left(\frac{a}{2} \right)- \cos\left( na+\frac{a}{2} \right)}{2sen\left( \frac{a}{2} \right)} \right|\) no caso "a" seria uma variável que poderia representar qualquer valor, e não somente 1. Então pela desigualdade triangular : \(\left|\cos \left(\frac{a}{2} \right)- \cos\left( na+\frac{a}{2} \right)\right| \leq \left|\cos \left(\frac{a}{2} \right) \right|+\left|\cos\left( na+\frac{a}{2} \right)\right|\) , então essa ultima expressão seria limitada entre 0 e 2, daí ficava: \(\left| sena+sen2a+ \cdots + sen(na) \right| \leq \left| \frac{2}{2sen\left( \frac{a}{2} \right)} \right|\) \(\left| sena+sen2a+ \cdots + sen(na) \right| \leq \left| \frac{1}{sen\left( \frac{a}{2} \right)} \right|\) agora fazendo a=1: \(\left|sen 1+sen 2+ \cdots + sen(n) \right|\leq \frac{1}{sen\left( \frac{1}{2} \right)}\) Será que está correto? Abraço :D |
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