Chai Escreveu:
\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2 + 1}\)
diverge ou converge?
pelo critério da comparação :
\(0 < \frac{1}{n^2+1} <\frac{1}{n^2}\) , para \(n > 1\) .
Como a série \(\sum_{n=1}^{\infty} \; \frac{1}{n^2}\) converge pois é uma " série p " com p=2 temos que \(\sum_{n=1}^{\infty} \; \frac{1}{n^2+1}\) tbm converge.
Poderia tbm aplicar o teste da integral no intervalo \([1,+\infty]\) pois a função é sempre positiva e a função é decrescente neste intervalo.
\(\int_{1}^{+\infty} \; \frac{1}{x^2+1} \; dx=\left[ arct \; tgx \right]_{1}^{+\infty}=arc \; tg \left( +\infty \right)-arc\; tg(1)=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}\)
como a integral converge, então a série tbm converge.
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