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| serie diverge ou converge? https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=11&t=6152 |
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| Autor: | Chai [ 27 mai 2014, 00:40 ] |
| Título da Pergunta: | serie diverge ou converge? |
\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2 + 1}\) diverge ou converge? |
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| Autor: | Man Utd [ 27 mai 2014, 02:51 ] |
| Título da Pergunta: | Re: serie diverge ou converge? [resolvida] |
Chai Escreveu: \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2 + 1}\) diverge ou converge? pelo critério da comparação : \(0 < \frac{1}{n^2+1} <\frac{1}{n^2}\) , para \(n > 1\) . Como a série \(\sum_{n=1}^{\infty} \; \frac{1}{n^2}\) converge pois é uma " série p " com p=2 temos que \(\sum_{n=1}^{\infty} \; \frac{1}{n^2+1}\) tbm converge. Poderia tbm aplicar o teste da integral no intervalo \([1,+\infty]\) pois a função é sempre positiva e a função é decrescente neste intervalo. \(\int_{1}^{+\infty} \; \frac{1}{x^2+1} \; dx=\left[ arct \; tgx \right]_{1}^{+\infty}=arc \; tg \left( +\infty \right)-arc\; tg(1)=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}\) como a integral converge, então a série tbm converge. |
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