Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Calcule Sn em termos de n.Determine se a serie diverge ou converge , encontre sua soma :

∑ n / (n+2)(n+3)(n+4)

Dica : Frações parciais .

Resultado útil :

Se p,q polinômios com \(deg(p)< deq(q)\) .Suponha \(q(x) = \prod_i (x-x_i)\) com \(x_i \neq x_j\) , então

\(p(x)/q(x) = \sum_{i} \frac{\alpha_i }{x-x_i}\) com \(\alpha_i = \frac{p(x_I)}{q'(x_i)}\) .

Olá :D


Solução pelo metódo descrito AQUI :


\(F(n)=\frac{n}{(n+2)*(n+3)*(n+4)}\) então \(\mathcal{L}^{-1} \left{ F(n) \right}=f(t)=-e^{-4t}(-3e^{t}+e^{2t}+2)\)



Usando a fórmula : \(\sum_{n=0}^{+\infty} \; F(n)=\int_{0}^{+\infty} \; \frac{e^{t} f(t)}{e^{t}-1} \; dt\),obtemos :


\(\int_{0}^{+\infty} \; \frac{e^{t}\left( -e^{-4t}(-3e^{t}+e^{2t}+2) \right) }{e^{t}-1} \; dt\)



Resolvendo a integral imprópria obtemos a resposta :D

Há uma alternativa mais elementar que o método proposto pelo Man Utd (embora este último seja mais abrangente). É simplesmente observar que após decompôr \(\frac{n}{(n+2)(n+3)(n+4)}\) em frações simples: \(\frac{n}{(n+2)(n+3)(n+4)}=-\frac{1}{n+2}+\frac{3}{n+3}-\frac{2}{n+4}\) ficamos com uma combinação linear de diferenças (relacionado com séries de Mengoli): \(-\frac{1}{n+2}+\frac{3}{n+3}-\frac{2}{n+4}=2\left(\frac{1}{n+3}-\frac{1}{n+4}\right)-\left(\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}\right)\). Agora é só fazer as somas de Mengoli: \(2\sum_{n=a}^{\infty}\left(\frac{1}{n+3}-\frac{1}{n+4}\right)-\sum_{n=a}^{\infty}\left(\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}\right)\)