Série Geométrica - Qual a resolução?

[MikeBlogger]

Boas, alguém consegue resolver este problema? Desde já agradeço.

Dois comboios que se encontram num túnel separados por 40km começam a deslocar-se
à velocidade de 10km/h na direção um do outro. Na frente de um dos comboios está uma
abelha, que quando este se começa a deslocar, inicia um voo a 25km/h em direção ao outro
comboio. Ao chegar ao outro comboio, a abelha inverte o sentido e inicia novo voo em
direção ao comboio de onde partiu.
1. Supondo que itera este comportamento, determine o espaço total percorrido pela
abelha até ficar encurralada.
2. Quanto tempo decorre até à quarta mudança de sentido da abelha?

[Rui Carpentier]

Caro Mike,
Relativamente à primeira questão* há uma forma bastante elegante de achar a solução sem grandes cálculos (e sem recorrer a séries). Se os dois comboios distam inicialmente 40km e aproximam-se um do outro à velocidade de 20km/h então levam 2 horas a chocar um com o outro. Durante esse tempo a abelha voa a uma velocidade constante de 25km/h. Logo ao fim de 2 horas precorreu 50km (independentemente do seu percurso).

Já a segunda questão envolve mais cálculos. É um facto que pela natureza do problema o tempo total (2 horas) é uma soma geométrica: \(T_0+T_1+T_2+T_3+\cdots =2\) onde \(T_i\) é tempo gasto pela a abelha entre a i-ésima e a i+1-ésima inversões e \(T_{i+1}/T_i=c\) (constante pois é uma série geométrica). Para calcular \(T_0\) basta ver que a abelha está inicialmente a uma distancia de 40km do outro comboio e aproxima-se desse a uma velocidade de 35km/h (=25+10), logo \(T_0=40km/(35km/h)=8/7 horas\). Por outro lado sabemos que \(2=T_0+T_1+T_2+\cdots =T_0(1+c+c^2+\cdots )=\frac{T_0}{1-c}\) donde se tira que \(c=\frac{2-T_0}{2}=3/7\).
Assim sendo ao fim de 4 iterações temos um tempo gasto de \(T_0+T_1+T_2+T_3=\frac{8}{7}\left(1+\frac{3}{7}+\left(\frac{3}{7}\right)^2+\left(\frac{3}{7}\right)^3\right)=\frac{3200}{2401}\) horas.

* trata-se de um problema bastante conhecido assim como a resolução que apresentei. No entanto tem que se ter em atenção a que referênciais são dadas as velocidades dos objetos (por simplicidade assumi que eram todas (as dos 2 comboios e a da abelha) em relação ao tunel).