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| Encontrar a soma de uma serie https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=11&t=7546 |
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| Autor: | ptf [ 07 dez 2014, 19:00 ] |
| Título da Pergunta: | Encontrar a soma de uma serie [resolvida] |
Resolva: \(\sum_{k=3}^{\infty}= \frac{1}{k^2-k}\) Resolução: \(\sum_{k=3}^{\infty}=(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k})=\lim_{n \mapsto +\infty }(\frac{1}{2}-\frac{1}{n})=\frac{1}{2}\) Não percebo como chegaram ao 2º passo (o limite) |
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| Autor: | Man Utd [ 08 dez 2014, 02:33 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Encontrar a soma de uma serie |
Olá :D Foi aplicado frações parciais em \(\frac{1}{k^2-k}\) obtendo \(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\) .Logo: \(\sum_{k=3}^{+\infty} \; \frac{1}{k^2-k}=\sum_{k=3}^{+\infty} \; \frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\) Como \(\lim_{n \to +\infty} \sum_{k=3}^{n+2} \; \frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}=\sum_{k=3}^{+\infty} \; \frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\). Veja que : \(\sum_{k=3}^{n+2} \; \frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}= \frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\) Veja que os termos vão se cancelando (Pesquise sobre série telescópica) ficando somente : \(\sum_{k=3}^{n+2} \; \frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}=\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}\) logo : \(\lim_{n \to +\infty} \sum_{k=3}^{n+2} = \lim_{n \to +\infty} \; \frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}=\fbox{\fbox{\fbox{\frac{1}{2}}}}\) |
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