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| Limite de sequência com raíz n-ésima https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=11&t=7576 |
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| Autor: | alfcorreia [ 09 dez 2014, 23:00 ] |
| Título da Pergunta: | Limite de sequência com raíz n-ésima [resolvida] |
Pessoal, estou com dúvida na resolução do seguinte exercício: \(\lim \sqrt[n]{a}=1\ ,\forall\ a>0\\ n \to \infty\) A ideia é provar por definição o limite da sequência acima. Começo fazendo o cálculo da seguinte forma, \(\forall\ \varepsilon> 0\ \exists\ N_\varepsilon:\ N> N_\varepsilon\Rightarrow \left | \sqrt[n]{a}-1 \right | <\varepsilon\) Temos que, \(\left | \sqrt[n]{a}-1 \right |< \varepsilon \Rightarrow\ ??\) Infelizmente, travo logo no início do cálculo. Já tentei resolver de algumas formas que me eliminassem a raiz, mas talvez por falta de domínio da álgebra não consigo seguir com a operação. Se alguém puder ajudar, agradeço. |
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| Autor: | Walter R [ 10 dez 2014, 01:30 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Limite de sequência com raíz n-ésima |
\(|\sqrt[n]{a}-1|<\varepsilon\Rightarrow |\sqrt[n]{a}|-1<\varepsilon\Rightarrow |\sqrt[n]{a}|<\varepsilon+1\Rightarrow \sqrt[n]{a}<\varepsilon+1\Rightarrow a^{\frac{1}{n}}<\varepsilon+1\Rightarrow \frac{1}{n}\ln a<\ln (\varepsilon +1)\Rightarrow n>\frac{\ln a}{\ln (\varepsilon +1)}\) |
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| Autor: | alfcorreia [ 10 dez 2014, 12:59 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Limite de sequência com raíz n-ésima |
Amigo, agradeço, no entanto fiquei em dúvida com relaçåo a primeira implicação, se puder explicar, agradeço. |
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| Autor: | Walter R [ 10 dez 2014, 13:06 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Limite de sequência com raíz n-ésima |
Se é verdade que \(|\sqrt[n]{a}-1|<\varepsilon\), então também é verdade que \(|\sqrt[n]{a}|-1<\varepsilon\), pois pela desigualdade triangular: \(|\sqrt[n]{a}|-|1|\le |\sqrt[n]{a}-1|<\varepsilon\) |
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| Autor: | Sobolev [ 10 dez 2014, 13:56 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Limite de sequência com raíz n-ésima |
Só para complementar a resposta do Walter, para quaisquer \(x,y \in \mathbb{R}\) é sabido que \(| x -y | \ge ||x|-|y||\). No caso em discussão, teríamos \(|\sqrt[n]{a} - 1| \ge | |\sqrt[n]{a}| - |1|| \ge \sqrt[n]{a} -1\) Deste modo pode ver que a implicação usada pelo Walter, \(|\sqrt[n]{a}-1|\leq \varepsilon \Rightarrow \sqrt[n]{a} \leq \varepsilon +1\), é válida. |
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| Autor: | alfcorreia [ 10 dez 2014, 22:49 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Limite de sequência com raíz n-ésima |
Perfeito, amigos. Agradeço as respostas e a explicação. Foi de grande ajuda. |
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