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| Subsequência limitada e intervalos encaixantes https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=11&t=7581 |
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| Autor: | alfcorreia [ 10 dez 2014, 23:10 ] |
| Título da Pergunta: | Subsequência limitada e intervalos encaixantes |
Pessoal, alguém poderia me ajudar na resolução desse exorcício? Seja \(\left \{f_n \right \}\) uma sequência tal que \(f_n\in [0,1]\)\(\forall n \in \mathbb{N}\). Mostre que, existe uma subsequência \(\left \{ f_n_k \right \}\) convergente. Dica: um dos intervalos (pelo menos um!) \(\left \lfloor 0,1/2 \right \rfloor\) e \(\left [ 1/2,1 \right ]\) contém infinitude de \(\left \{f_n \right \}\) . Seja esse intervalo \(\left [ 0,1/2 \right ]\). Escolha \(\left \{ f_n_1 \right \}\) tal que \(f_n_1 \in [0,1/2]\). Repita com \([0,1/2]\) e escolha \(f_n_2\), onde \(n_2>n_1\) e assim por diante. Se constrói uma subsequência \(f_n_k\) uma sequência de intervalos fechados encaixantes, aplique o Teorema dos Intervalos Encaixantes. |
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| Autor: | Sobolev [ 11 dez 2014, 12:09 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Subsequência limitada e intervalos encaixantes [resolvida] |
Por construção, os intervalos da sucessão indicada estão encaixados e a sua amplitude converge para zero (em cada iteração a amplitude inicial,1, é dividida por 2). Assim, o teorema dos intervalos encaixados diz-nos que a intersecção de todos esses intervalos se reduz a um ponto \(x \in [0,1]\), que será o limite da subsucessão \(f_{n_k}\). |
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