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Séries alternadas, de Dirichlet, de Mengoli, convergência de uma série, série geométrica e linear, limite de sucessões/sequências, convergência e monotonia assim como máximos e mínimos, supremos ou ínfimos, majorantes e minorantes
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Série é convergente ou divergente?

17 dez 2014, 03:52

Olá, td bem? Eu preciso de ajuda para resolver esse exercício. Essa série é divergente ou convergente?
Eu achei que é divergente mas no gabarito do Guidorizzi mostra que é convergente. Alguém pode me ajudar?
Anexos
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Re: Série é convergente ou divergente?

17 dez 2014, 10:31

Pode usar o principio de comparação,

\(\frac{3^k}{1+4^k} < \frac{3^k}{4^k} = (3/4)^k\)

Como a última expressão corresponde ao termo de uma série geométrica convergente (a razão, 3/4, é em módulo inferior a 1), a nossa série também é convergente.

Re: Série é convergente ou divergente?

17 dez 2014, 22:00

Olá, obrigada! Mas tem como resolver esse exercício pelo critério da razão ou da raiz?

Re: Série é convergente ou divergente?

20 dez 2014, 02:36

Ester.Evelyn Escreveu:Olá, obrigada! Mas tem como resolver esse exercício pelo critério da razão ou da raiz?




Pelo critério da raiz:


\(\lim_{n \to +\infty} \; \sqrt[n]{ a_{n} }\)


\(\lim_{n \to +\infty} \; \sqrt[n]{ \frac{3^{n}}{1+4^{n}}\)


\(\lim_{n \to +\infty} \; \frac{\sqrt[n] 3^{n}}{\sqrt[n]{1+4^{n}}}\)


\(3 *\lim_{n \to +\infty} \; \frac{1}{\sqrt[n]{1+4^{n}}}\)


\(3 * \frac{1}{+\infty}=0\)



Como 0<1, temos que a série é convergente.
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