Fórum de Matemática
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prove que dado a∊R e ε>0 então a^n/n!<ε, para n grande.

Essa pergunta sempre me intrigou,
ou seja, demonstrar que o fatorial cresce muito mais rápido que qualquer função exponencial

uma forma (presumo que hajam muitas mais) é considerar uma série e o critério d'Alembert

\(\sum \frac{a^n}{n!} \\\\ \\ pelo\ criterio\ d'Alembert\\\\ \lim\left|\frac{\frac{a^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{a^n}{n!}}\right|= \lim\left|\frac{a.a^n.n!}{(n+1)n!.a^n)}\right|=\lim\left|\frac{a}{n+1}\right|=0<1\)

Como a série é convergente, conclui-se que obgrigatoriamente a sequência \(\frac{a^n}{n!}\) tende para zero, demonstrando assim o que pretendia através da definição de limite

Saudações

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João Pimentel Ferreira
 
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