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| prove que dado a∊R e ε>0 então a^n/n!<ε, para n grande. https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=11&t=784 |
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| Autor: | math94 [ 07 set 2012, 16:47 ] |
| Título da Pergunta: | prove que dado a∊R e ε>0 então a^n/n!<ε, para n grande. |
prove que dado a∊R e ε>0 então a^n/n!<ε, para n grande. |
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| Autor: | João P. Ferreira [ 08 set 2012, 15:11 ] |
| Título da Pergunta: | Re: prove que dado a∊R e ε>0 então a^n/n!<ε, para n grande. |
Essa pergunta sempre me intrigou, ou seja, demonstrar que o fatorial cresce muito mais rápido que qualquer função exponencial uma forma (presumo que hajam muitas mais) é considerar uma série e o critério d'Alembert \(\sum \frac{a^n}{n!} \\\\ \\ pelo\ criterio\ d'Alembert\\\\ \lim\left|\frac{\frac{a^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{a^n}{n!}}\right|= \lim\left|\frac{a.a^n.n!}{(n+1)n!.a^n)}\right|=\lim\left|\frac{a}{n+1}\right|=0<1\) Como a série é convergente, conclui-se que obgrigatoriamente a sequência \(\frac{a^n}{n!}\) tende para zero, demonstrando assim o que pretendia através da definição de limite Saudações |
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