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Olá,
Tendo em conta a definição de limite o que se pretende demonstrar é que
\(\forall \varepsilon>0 \exists p\in\mathbb{N} n>p\Rightarrow \left|\frac{1}{n}\left(\sum_{k=1}^{n}a_k\right) -L\right|<\varepsilon\) (1)
sabendo que
\(\forall \varepsilon'>0 \exists p'\in\mathbb{N} n>p'\Rightarrow \left|a_n -L\right|<\varepsilon'\) (2)
Pegando em (2), temos que, para um \(\varepsilon'\) arbitrário existe um p' tal que, para n>p', \(\left|\frac{1}{n}\left(\sum_{k=1}^{n}a_k\right) -L\right|\leq \left|\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{p'}(a_k -L)\right|+\frac{1}{n}\sum_{k=p'+1}^{n}|a_k -L|< \frac{M}{n}+\frac{(n-p')\varepsilon'}{n}<\frac{M}{n}+\varepsilon'\)
onde \(M=\left|\sum_{k=1}^{p'}(a_k -L)\right|\) é um valor finito que não depende de n (embora dependa de p' que depende de \(\varepsilon'\)). Assim sendo, tomando \(\varepsilon'=\frac{\varepsilon}{2}\), sabemos que existe p>p' suficientemente grande tal que \(\frac{M}{n}<\frac{\varepsilon}{2}\) para qualquer n>p (isto porque \(\frac{M}{n}\to 0\)). Logo encontramos um p para o \(\varepsilon\) dado tal que \(n>p\Rightarrow \left|\frac{1}{n}\left(\sum_{k=1}^{n}a_k\right) -L\right|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2} =\varepsilon\).
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