Não sei como hei-de fazer este cálculo, agradecia ajuda.
Obrigado.
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| cálculo de um integral utilizando a série https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=11&t=7870 |
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| Autor: | rodrigo_dia [ 27 jan 2015, 23:29 ] | ||
| Título da Pergunta: | cálculo de um integral utilizando a série | ||
Não sei como hei-de fazer este cálculo, agradecia ajuda. Obrigado.
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| Autor: | João P. Ferreira [ 28 jan 2015, 22:05 ] |
| Título da Pergunta: | Re: cálculo de um integral utilizando a série |
O integral e a série são operadores lineares, logo são permutáveis. Repare ainda como o integral não depende de \(n\), que a parcela em \(n\) pode vir para fora do integral. \(\int_0^{\pi/2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}sen(n.x)dx=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\int_0^{\pi/2}sen(n.x)dx=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} \left[\frac{(-cos(n.x))}{n} \right]_0^{\pi/2}=\) \(=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} \left(\frac{cos(0)-cos(\pi/2.n)}{n} \right)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3} (1-cos(\pi/2.n))=...\) trata-se de um infinitésimo convergente \(\frac{1}{n^3}\) vezes uma parcela limitada pois \(|1-cos(\pi/2.n)| \leq 1\) logo a série é convergente para achar \(f'(x)\) basta usar a derivada normalmente pois a derivada da soma é a soma das derivadas |
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