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| caso série de funções demonstração https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=11&t=7897 |
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| Autor: | fabio_dias [ 30 jan 2015, 18:53 ] |
| Título da Pergunta: | caso série de funções demonstração [resolvida] |
Boa tarde, estou a ter dificuldades em perceber em este problema de demonstração, alguém me pode dar algumas luzes? Obrigado. "Mostre que, se a série de funções \(\sum f(n)\) converge uniformemente num conjunto D então fn\(\rightarrow\)0 uniformemente em D." |
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| Autor: | santhiago [ 01 fev 2015, 21:58 ] |
| Título da Pergunta: | Re: caso série de funções demonstração |
Veja que para todos pares índices p > n , vale a desigualdade \(|f_n(x)| \leq | \sum_{k=n}^{p} f_k(x) | = | \sum_{k=1}^{p} f_k(x) - f(x) + f(x)- \sum_{k=1}^{n-1} f_k(x) | \leq \sum_{k=1}^{p} f_k(x) - f(x) | + \sum_{k=1}^{n-1} f_k(x) - f(x) | , \forall x \in D\) . Basta utilizar a hipotese para concluir . |
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| Autor: | Sobolev [ 02 fev 2015, 19:58 ] |
| Título da Pergunta: | Re: caso série de funções demonstração |
Santhiago, A primeira desigualdade só vale se se tratar de funções positivas, o que não é dito. Certo? |
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| Autor: | santhiago [ 02 fev 2015, 21:21 ] |
| Título da Pergunta: | Re: caso série de funções demonstração |
Tem toda razao ! Talvez possamos fazer p = n , neste caso a primeira desigualdade (falsa em geral ) torna se uma igualdade e a ultima desigualdade vem da desigualdade triangular . Obrigado . |
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| Autor: | Sobolev [ 03 fev 2015, 10:36 ] |
| Título da Pergunta: | Re: caso série de funções demonstração |
Dizer que a série converge uniformemente significa dizer que a sucessão das somas parciais, \(S_n(x)\), converge uniformemente para a soma da série. Como a convergência uniforme implica a convergência pontual, e o termo geral de uma série convergente deve ser um infinitésimo, é imediato concluir que \(\lim_{k \to \infty} f_k(x) = 0, \forall x \in D\), isto é, que a sucessão de funções converge pontualmente para zero. Da convergência uniforme da série retiramos que \(\forall_{\varepsilon >0} \quad \exists_{p \in \mathbb{N}} \quad \forall_{x \in D}: n \ge p \Rightarrow |S_n(x) - S(x)|< \frac{\varepsilon}{2}\) Assim, para qualquer \(\varepsilon > 0\) escolhido e tomando \(k>p\) \(|f_k(x)| = |S_k(x) - S_{k-1}(x)| = |S_k(x) - S_{k-1}(x)-S(x)+S(x)| \leq |S_k(x)-S(x)|+|S_{k-1}(x)-S(x)| < \frac{\varepsilon}{2} +\frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon\) O que demonstra a convergência uniforme de \(f_k\) para zero. |
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