Fórum de Matemática
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\(\sum n^{n} x^{n}\)
\(\sum \frac{(-1)^n x^n}{n!}\)
\(\sum \frac{(x-2)^n}{5^n}\)

O raio de convergência de uma série de potências do tipo \(\sum a_n (x-a)^n\) é dado (caso este limite exista) por \(\lim\frac{ a_n}{a_{n+1}}\). Tomando o seu primeiro exemplo,

\(R = \lim \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} = \lim \frac{1}{n+1}\left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \lim \frac{1}{n+1} \left(1- \frac{1}{n+1}\right)^n = 0\times e^{-1} = 0\)

Ora, se o raio de convergência é zero, a séries converge apenas de x=0, pelo que o "intervalo" de convergência é neste caso \(\{0\}\).