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| Mostre que lim f(x) = 1 usando séries de potências https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=11&t=8050 |
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| Autor: | ramiro99 [ 19 fev 2015, 22:33 ] |
| Título da Pergunta: | Mostre que lim f(x) = 1 usando séries de potências |
Mostre que \(\lim_{\frac{ln(x)}{x-1}} = 1\) usando séries de potências |
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| Autor: | Rui Carpentier [ 20 fev 2015, 17:12 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Mostre que lim f(x) = 1 usando séries de potências |
Calculo que queira mostrar que \(\lim_{x\to 1}\frac{\ln x}{x-1}=1\)? Note que este limite, fazendo a mudança de variável \(x=1+t\), é equivalente a \(\lim_{t\to 0}\frac{\ln (1+t)}{t}\). Como \(\ln (1+t)=t-\frac{t^2}{2}+\frac{t^3}{3}-\cdots =\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{t^n}{n}\), temos que \(\frac{\ln (1+t)}{t}=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{t^{n-1}}{n}=1-\frac{t}{2}+\frac{t^2}{3}-\cdots\). Logo \(\lim_{t\to 0}\frac{\ln (1+t)}{t}=1\). |
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