Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Boa tarde,

Desde ontem que ando com uma ligeira duvida ao resolver a soma de uma serie alternada, ora a serie é a seguinte:

\(\sum \frac{\left ( -1 \right )^n}{n*(n+2))}\)


Bem, eu por mengoli consegui resolver a equação para quando o n é par e fiz da seguinte maneira :

n, par :

\(\sum 1 / n*\left ( n+2 \right ) = \left ( \frac{1/2}{n}-\frac{1/2}{n+2} \right )\)


\(un = \frac{1/2}{n}\)

\(sn = 1/2 + 1/4 = 3/4\)


Foi assim que eu fiz para n par, mas penso que nao esta correto pois ja fui ao wolfram e o resultado é - 1/4

Será que alguem me consegue dar uma pequena ajuda aqui?

obrigado

Pondo \(a_n := \frac{(-1)^n}{n(n+2) } , n \in \mathbb{N}\) , escreva \(S_m\) para designar a soma parcial \(\sum_{n=1}^m a_n , m \mathbb{N}\) . Se pergunta sobre a serie \(\sum a_n\) for em termos de convergência , a resposta é positiva com respeito a tal . Com efeito , \(0 < \underbrace{\sum_{k=1}^m |a_n| }_{S'_m}= \sum_{k=1}^m \frac{1}{n(n+2)} \leq \sum_{k=1}^m \frac{1}{n^2} , \forall m \in \mathbb{N}\) . Como a série \(\sum \frac{1}{n^2}\) é convergente , seu limite limita a sequência monótona \((S'_m)\) , de onde vem a convergência de \(( S'_m )\) , (o que implica \(\sum a_n\) converge absolutamente ) .

Caso o tem interesse em computar o limite de \(S_m\) . Observe que

\(\frac{(-1)^n}{n(n+2)} = \frac{(-1)^n}{n} - \frac{(-1)^n}{n+2}\) . Agora compute o \(S_m\) e veja que dá ....

Eu já tinha reparado que a serie era convergente e usei o teorema de leibniz para provar isso mesmo, e como \(lim 1/n = 0\) e é decrescente eu provei que dessa forma a serie dada era convergente. Agora o que pretendo saber é a soma da serie. Ao verificar a sua resposta reparei que :

\(\frac{(-1)^n}{n(n+2)} \neq \frac{(-1)^n}{n} - \frac{(-1)^n}{n+2}\) , ou seja isto nao esta correto pois :

\(\frac{(-1)^n}{n(n+2)} = (-1)^n * (\frac{(1/2)}{n} - \frac{(1/2)}{n+2})\)


A minha grande duvida e agora saber a soma disto , O Sn

Foi um erro de digitação . Desculpe . Tendo em conta que ,

\(\frac{(-1)^n}{n(n+2)} = \frac{1}{2} \frac{(-1)^n}{n} - \frac{(-1)^n}{n+2}\) ,

vem :

\(S_m := \sum_{n=1}^m \frac{(-1)^n}{n(n+2)} = \frac{1}{2} \left( \sum_{n=1}^m \frac{(-1)^n}{n} - \sum_{n=1}^m \frac{(-1)^n}{n+2} \right)\) .


Desde que \(\sum_{n=1}^m \frac{(-1)^n}{n+2} = \sum_{n=3}^{m+2} \frac{(-1)^{n-2}}{n} = \sum_{n=3}^{m+2} \frac{(-1)^n }{n} = 1 - \frac{1}{2} + \sum_{n=1}^{m} \frac{(-1)^n }{n} +\frac{(-1)^{m+1}}{m+1} + \frac{(-1)^{m+2}}{m+2}\) .


Resulta : \(S_m = \frac{1}{2} ( - \frac{1}{2} - \frac{(-1)^{m+1}}{m+1} - \frac{(-1)^{m+2}}{m+2}\) .

Passando ao limite com \(m \to +\infty\) , obtemos \(S_m \to - \frac{1}{4}\) que o limite da série dada .