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| [Séries] A Soma Parcial abaixo tem uma fórmula explicita? https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=11&t=935 |
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| Autor: | Rilke [ 13 Oct 2012, 14:30 ] |
| Título da Pergunta: | [Séries] A Soma Parcial abaixo tem uma fórmula explicita? |
Alguém sabe se a Soma Parcial abaixo tem uma fórmula explícita? \(S_n=\sum_{i=0}^n \frac{1}{(1+ia)}\) \(a\) é uma constante maior que zero. Agradeço qualquer observação. |
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| Autor: | João P. Ferreira [ 14 Oct 2012, 13:54 ] |
| Título da Pergunta: | Re: [Séries] A Soma Parcial abaixo tem uma fórmula explicita |
Sim, é possível obter uma fórmula explícita, mas tem de entender a função digama e mais concretamente sabe-se que \(\Psi\left(n+{\frac{1}{2}}\right) = -\gamma - 2\ln 2 + \sum_{i=1}^n \frac{2}{2 i-1}\) Veja ainda http://mathworld.wolfram.com/DigammaFunction.html |
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| Autor: | Rilke [ 14 Oct 2012, 19:59 ] |
| Título da Pergunta: | Re: [Séries] A Soma Parcial abaixo tem uma fórmula explicita |
Prezado João P. Ferreira, muito obrigado pela indicação. Tive que procurar um pouco mas consegui e, embora a solução seja mais complexa do que eu gostaria, finaliza a questão. \(S_n=\sum_{i=1}^n \frac{1}{ai+1} = \frac{\Psi^{(0)} (n+\frac{1}{a}+1) - \Psi^{(0)} (1+\frac{1}{a})} {a}\) Onde \(\Psi^{(n)}\) é a n-ésima derivada da função Digamma Atenciosamente, Rilke |
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| Autor: | João P. Ferreira [ 15 Oct 2012, 15:21 ] |
| Título da Pergunta: | Re: [Séries] A Soma Parcial abaixo tem uma fórmula explicita |
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