Fórum de Matemática
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é possível que uma matriz A 2X2 simétrica não identicamente nula satisfaça A.A=(0)?

Não

Se a matriz \(A\) é simétrica e não é nula, o seu quadrado \(A^2\) nunca pode ser nulo

Uma matriz simétrica 2x2 é do tipo

\(\begin{bmatrix} a & b\\ b & c \end{bmatrix}\)

ora então

\(A.A=\begin{bmatrix} a & b\\ b & c \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} a & b\\ b & c \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
a^2+b^2 & ab+cb\\
ab+cb & b^2+c^2
\end{bmatrix}\)

ora como \(a^2+b^2\geq 0\) e \(b^2+c^2\geq 0\)
para que esta matriz fosse nula só se \(a=b=c=0\)

mas assim A também seria nula, que não é o caso

Cumprimentos

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João Pimentel Ferreira
 
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