Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Oi pessoal, alguém poderia me da uma SUPER ajuda? Ficarei muito grata!
Sei achar o determinante de uma matriz quando está "aumentada", mas quando está apenas escrita como no enunciado abaixo eu não entendo.

"Seja D uma matriz 5 X 5. Seja E a matriz obtida a partir da matriz D fazendo as seguintes operações elementares:
troca-se as posições das linhas 1 e 2; multiplica-se os elementos da linha 3 por 10; somam-se aos elementos da linha 5, 3 vezes o elemento correspondente da linha 4. Calcule o determinante da matriz D sabendo que det(E) = 45.

Desse jeito eu não entendo, não consigo resolver! Por favor, se alguém puder ajudar ficarei muito grata! Desde já obrigada.

Considere as operações elementares :


\(e_{i,j}(A)\) : Troca da i-ésima linha pela j-ésima linha de uma certa matriz \(A\).

\(e_{i}[m](A)\) : Troca da i-ésima linha pela mesma multiplicada por uma constante m .

\(e_{i,j}[m] (A)\) : Troca da i-ésima linha pela mesma multiplicada por uma constante m somada com a j-ésima linha .

Sendo \(e\) uma das operações acima , podemos verificar que \(e(A) = e(I) A\) .Dado qualquer matriz de ordem n por n e utilizando propriedades de determinante temos



\(\det(e(A)) = \det(e(I)) \det(A)\)

e

\(\det(e_{i,j}(I)) = - 1\)

\(\det(e_{i}[m](I)) = m\)

\(\det(e_{i,j}[m] (I) ) = 1\)


Dica para concluir o exercício .

Considere \(e_i(I)\)(i=1,2,3,...,n) as matrizes provenientes das operações definidas acima .

A matriz do E do enunciado é tal que

\(E = e_n(I)e_{n-1}(I) \cdots e_1(I) \cdot D\) . Aplicando o determinante

\(45 = \det (E) = det e_n(I)e_{n-1}(I) \cdots e_1(I) \cdot D = \det(e_n(I)) \cdots \det(e_1(I)) \cdot \det(D)\) .

Tente concluir .