Transformação linear, inversa e Base

[daniellgomess]

1) Seja T: R² --> R² uma transformação linear tal que:

T(1, 2) = (5, 0)

T(2, 1) = (7, 3)

Quem é T(x, y)?



2) Quem é a transformação inversa de T(x, y) = (3x + 4y, 8x + 11y)?


3) Seja V = P2 - conjunto de todos os polinômios com grau menor ou igual a dois. São feitas as seguintes afirmações:

I - S é um subespaço de V, onde S é o conjunto de todos os polinômios com grau exatamente 2;

II - B = {1 - x², 2x, 1 + 3x + x²} é uma base de V

I e II são verdadeiros
I é verdadeira e II é falsa
I é falsa e II é verdadeira
I e II são falsas

[Sobolev]

1)

Note que qualquer (x,y) se pode escrever como combinação linear de (1,2) e (2,1). Concretamente,

\((x,y)= (\frac 23 y -\frac 13 x) (1,2) + (\frac 23 x -\frac 13 y)(2,1)\)

Assim,

\(T(x,y)= T((\frac 23 y -\frac 13 x) (1,2) + (\frac 23 x -\frac 13 y)(2,1)) =(\frac 23 y -\frac 13 x)(5,0) + (\frac 23 x -\frac 13 y)(7,3) = (x+y, 2x-y )\)

De modo equivalente, sabendo que \(T(x,y)=(ax+by, cx+dy)\), pode usar as condições T(1,2)=(5,0) e T(2,1)=(7,3) para obter um sistema linear e determinar a,b,c,d.