Matriz nilpotente e matriz transposta

[Gogo]

Mostre que A é nilpotente de índice p se, e só se, A^T é nilpotente de índice p.

[jorgeluis]

Uma matriz A de ordem p, é dita Nilpotente, se
\(A^p=0, (p\geq 2\))
logo, se, para
\(A^p=0 \Leftrightarrow (A^t)^p=0\)
então,
\(A^p.(A^t)^p = 0, \forall p=i,j\geq 2, i=j\)

[Sobolev]

Jorge, não é bem essa a definição... Uma matriz diz-se nilpotente se alguma das suas potências for a matriz nula. O índice p que surge na questão é o menor natural que verifica \(A^p=0\), e não tem nenhuma relação directa com a dimensão (ordem) da matriz.

A demonstração assenta no facto de que \((A^T)^p = (A^p)^T\). O que permite estabelecer a equivalência entre a nilpotência de A e da sua transposta.