calculo de Multiplicidade Algebrica de uma Matriz

[PatriciaS]

Boa tarde,

alguem me pode explicar como calculamos a multiplicidade algebrica de uma matriz?
em relacao à multiplicidade geométrica ja percebi que sao o numero de linhas nulas do sistema.
Mas nao consigo perceber a multiplicidade algebrica.
obrigada

PatriciaS

[Estanislau]

Tem a certeza que se trata da multiplicidade de uma matriz?

[PatriciaS]

Desculpem, era de valores proprios

[Estanislau]

Então é muito simples.

A cada valor próprio é associado um subespaço próprio que consiste das associados vetores próprios e também 0. À dimensão deste subespaço chama-se a multiplicidade geométrica do valor próprio.

Por outra parte, os valores próprios são as raízes do polinómio característico da matris. As raízes de um polinómio têm multiplicidades: c é uma raiz de multiplicidade k do polinomio f(x) se f(x) é divisível por \((x-c)^k\) é não é divisível por \((x-c)^{k+1}\). Chama-se multiplicidade algebraica de um valor próprio à sua multiplicidade como raíz do polinómio característico.

A proposito, a multiplicidade algebraica não pode ser maior do que a geométrica.

Como é que podem ser calculados? Dada uma matriz A, o polinómio característico é det(A - λE). As raízes deste polinómio são os valores próprios, e as suas multiplicidades são multiplicidades algebraicas dos mesmos. Se λ0 for um valor próprio, o subespaço próprio é o conjunto solução do sistema
Ax = λ0 x
ou seja,
(A - λ0I)x = 0
É um sistema homogéneo, sabe-se que a dimensão do conjunto solução é n - rank(A - λ0I), onde n é a ordem da matriz; é igual ao número das linhas nulas da forma escalonada.