DETERMINANTE

[oliveiramerika]

Seja A =\(=\begin{pmatrix} {a} & {b} \\ {c} & {d} \end{pmatrix}\), matriz quadrada tal que /A/ diferente de 0. Encontre a matriz cofator, a matriz adjunta e a inversa de A.

[psdupsm]

Adjunta de A

\(adj (A) = \begin{pmatrix} d & -c\\ -b& a \end{pmatrix}\)

Inversa de A

\(A^{-1} = \begin{pmatrix} a & c\\ b& d \end{pmatrix}\)

Cofatora não sei se estou certo, mas refere-se a algum elemento da matriz. Cofatora da matriz inteira não sei se existe, alguém me corrija se eu estiver errado !

[Sobolev]

A matriz dos cofactores de A é a matriz de entradas \(C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}\) em que \(M_{ij}\) é o determinante da matriz que se obtém de A retirando a linha i e a coluna j. No caso da matriz de ordem 2 apresentada temos

\(C = \left(\begin{array}{cc} d & -c \\ -b & a\end{array}\right)\)

\(Adj(A) = C^T = \left(\begin{array}{cc} d & -b\\ -c & a\end{array}\right)\)

\(A^{-1} = \frac{1}{|A|} Adj(A) = \frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc} d & -b\\ -c & a\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} \frac{d}{ad-cb} & -\frac{b}{ad-bc}\\[2em] -\frac{c}{ad-bc} & \frac{a}{ad-bc}\end{array}\right)\)